CL
le rapport -^- soit compris entre 1 et 10; n est un exposant qui se détermine à vue. Alors il ne reste plus qu'à déterminer
en amenant b t sous a it le nombre b\ de la réglette ne sortira jamais de la règle ; d'ailleurs la réglette sera toujours sortie vers la droite.
Exemple. — Soit :
On écrit
Or
5 24x6 75 ' 3 ^ 5 ' =10,23; donc x= 1,025.
De même si Ton a :
on trouve :
23,5X3,45 ^ ane% X = 6,12 >< iQ = ^2.
Il est clair que l'emploi de la formule
fournit bien d'autres façons pour calculer une quatrième proportionnelle.
Dans les cas où le rapport r est constant, on voit que,
b' variant, on obtient le résultat x sans changer la position de la règle.
Exemple. — Soit à majorer de 15 /° les prix d'objets revenant le premier à 3 fr ,75, le second à 4 fr ,85, le troisième à 13 fr ,45, etc.
H faut multiplier 3,75, 4,85, 13,45, .. . par t^q ou -j- ;
en mettant 1 de la coulisse sous 1,1 5 de la règle, on trouve immédiatement les prix : 4 fr ,31, 5 fr ,57, 15 fr ,46, ...
Les cas particuliers de l'opération générale ci-dessus sont la division et la multiplication de deux nombres. Si 6 = 1, on a x = ab' ; donc a eib' étant ramenés à être compris entre 1 et 10, on amènera 1 de la coulisse sous a, et on lira x au-dessus de b'.
Exemple :
Si a est fixe, et si b' varie, on n'a qu'à lire les résultats des diverses multiplications sans déplacer la règle. Si 6' = 1, on a:
donc b étant compris entre 1 et 40, ainsi que le rapport -,*
on placera b sous a, et on lira x au-dessus de 1. Exemple :
47,25 — 4,725 X ÎÔÔ ~ °' 0503,
La règle à appliquer est toujours la même.
En faisant a = 4 , on aurait :
et Ton a un nouveau moyen de faire la division ; si b et b f sont compris entre 1 et 40, on amène b sous 40; on lit le nombre au-dessus de b', et on divise par 40; dans le cas général, on ramène b et b' h être compris entre 4 et 40. On pourrait trouver encore bien d'autres moyens de faire une division avec la règle à calcul ; mais toijs les moyens possibles dérivent de Tunique formule
173. — Supposons maintenant que c et c' soient deux nombres de l'échelle des racines carrées, b et b' les nombres correspondants de la coulisse :
c' 1 l'intervalle c — c' est égal à 2 log c' — 2 log c = log — ;
l'intervalle b — b' est égal à log b' — log b =log -r ;
mais ces deux intervalles sont égaux ; on a donc :
Ceci posé, soit à calculer un nombre x défini par l'égalité
bc'* c 2
On placera c sous 6, et on lira x sur la coulisse audessus de c', pris dans l'échelle des racines. Exemple. — Soit :
7,4' on trouve x = 4,62.
Quand l'opération ne sera pas possible, on essayera de la rendre possible par des déplacements de virgules convenables -, on s'arrangera de façon que c et c' soient compris entre 1 et 40, et b compris entre 1 et 100 : on s'assure que l'opération devient alors possible si l'on a :
sinon elle ne l'est pas.
Exemple. — Soit :
Examinons maintenant les cas particuliers.
Si b = c = {, on a x = c ri ;
donc pour former le carré de c f on met 1 de l'échelle des racines carrées sous 1 de la coulisse, et on lit le résultat sur la coulisse au-dessus de c'.
Si c = l, on a
x = bc n
si c' = l,on a
si b = 1 , on a
si b = c', on a
et en particulier pour c = 1, on a
donc, pour former le cube de b, on met 4 de l'échelle des racines carrées sous b de la coulisse, et on lit le résultat sur la coulisse au-dessus de b; ceci ne peut s'appliquer que pour 6 8 < 400.
L'égalité fondamentale
c*~ b donne encore le moyen de calculer un nombre x défini par
x =V—= c Vr
On place b au-dessus de c, et on lit le résultat sur l'échelle des racines au-dessous de b'.
Exemple :
Si l'opération n'est pas possible, on la rendra possible comme plus haut, au moins dans certains cas.
Voici quelques cas particuliers :
Siô=c = 4,ona# =Vb'; si b= 4, V =c, on a x = ^b'*\ si b = c, on a x = \cb' ;
ainsi :
174. — Soient a et b deux nombres correspondants de l'échelle des nombres et delà coulisse; è'etc' deux nombres correspondants de la coulisse et de l'échelle des racines carrées.
On a la proportion
qui permettra de résoudre de nouvelles questions analogues aux précédentes.
En particulier on a :
bc' 2
et pour 6' = l, 6 = c',
on a donc le cube de b en mettant 1 de la coulisse sur b de l'échelle des racines, et lisant le résultat dans l'échelle des nombres au-dessus de b de la coulisse : ceci n'est possible que si b, qui est un nombre compris entre 1 et 40, a son cube inférieur à 100; mais on a aussi :
a=i0x îô ;
donc, si 6 8 est supérieur à 100, on mettra 10 de la coulisse au-dessus de 6, et on continuera comme plus haut; le résultat sera ensuite multiplié par 10 ; le même procédé peut s'appliquer si l'on a b* > 10.
175. — La coulisse étant tirée dans une position quelconque vers la droite, retournons la règle et lisons l'angle A de l'échelle des sinus, marqué par l'affleurement de la règle sur la coulisse. Alors, d'après ce qui a été dit sur la construction de la règle, le nombre de la coulisse qui correspond à la division 100 de l'échelle des nombres sera évidemment 100 sin A; d'où le moyen de trouver sin A.
Si a et b sont alors deux nombres correspondants de l'échelle des nombres et de la coulisse, b' et c' deux nombres correspondants de la coulisse et de l'échelle des racines, on aura encore d'après les n 08 172 et 174 :
100 sin k~~~b~~ b 1 ' ou
1 a c' 2 sin A b b' 9
d'où le moyen de trouver -: — r-, etc.
J sin A
ANDOYER. — ALGÈBRE. lo
On raisonnera de même en se servant de l'échelle des tangentes; la proportion
tg — 6
donnera immédiatement cotg A en faisant ô — 1. Par suite, pour trouver la tangente d'un angle supérieur à 45°, il n'y aura pas de difficulté; on lira la cotangente du complément de cet angle au-dessus du 1 de la coulisse : ainsi
tg 60° = cotg 30° = 1,73.
Enfin, en lisant de même le nombre /de l'échelle des logarithmes marqué par l'affleurement de la règle, on voit que c'est le logarithme du nombre de l'échelle des racines placé au-dessous du 1 de la coulisse, ce qui donne le moyen d'avoir le logarithme d'un nombre quelconque.
176. — Deuxième position. — La réglette présente sa face supérieure, le bouton est à gauche.
Soient toujours (il faut avoir soin de lire sur la coulisse à l'envers, de droite à gauche) a, b, c; a', b', c' des groupes de nombres correspondants sur l'échelle des nombres, la coulisse et l'échelle des racines. Ici on a évidemment :
ab = a'b',
ce qui donne de nouveaux moyens de résoudre les questions du n° 172, en particulier de calculer le produit ouïe quotient de deux nombres.
On a aussi :
ce qui donne de nouveaux moyens pour résoudre les questions du n° 173. En particulier pour b f = c', c = l, on a :
donc, pour former le cube de b', on place b' sur la coulisse en coïncidence avec // sur l'échelle des racines, et on lit le résultat sur la coulisse au-dessus de 1 . Ceci ne peut s'appliquer que pour b' 3 < 100.
Enfin on a encore :
ab = b'c'\
formule qui correspond à celle du n° 174.
Pour b' = c' , b = 1 , on a :
donc, pour former le cube de b f , on place la coulisse comme précédemment, et on lit le résultat sur l'échelle des nombres au-dessus du 1 de la coulisse. Ceci ne s'applique que pour b' z < 100. Pour b' z > 400, on écrit :
aXiO=iOXb r \
et par suite on lit le résultat au-dessus du 10 de la coulisse et on multiplie par 10.
Inversement par suite, pour extraire la racine cubique d'un nombre compris entre 1 et 1 000 : 1° s'il est inférieur à 100, on le place au-dessus du 1 de la coulisse, et on cherche dans l'échelle des racines le iïombre qui est égal à son correspondant de la coulisse; 2° s'il est supérieur à 100, on le place au-dessus du 10 de la coulisse, après l'avoir divisé par 10, et on continue de même.
Exemples :
Remarque. — En général, si l'on doit se servir d'une règle à calcul, c'est pour faire un grand nombre de calculs toujours pareils; alors il faudra commencer par choisir la méthode qui s'applique le mieux aux calculs à effectuer, en se guidant sur ce que nous avons dit : une fois la méthode choisie, on l'appliquera uniformément, sans essayer de nouvelles combinaisons : de cette façon on arrivera à calculer machinalement, et la règle à calcul sera un instrument utile.
Mais se servir de la règle à calcul dans des cas isolés est
une perte de temps manifeste : il faut d'abord retrouve r la méthode, ensuite l'appliquer correctement, et, comme la précision sur laquelle on peut compter ne dépasse pas trois chiffres exacts à partir du premier chiffre significatif, un calcul direct est plus vite fait.
