CHAPITRE IV
PUISSANCES ET RACINES D'UN POLYNOxME.
Puissances d'un polynôme.
302. On peut présenter de deux manières la recherche de la puissance m''^""' d'un polynôme quelconque, m étant entier et positif.
Dans la première méthode, on s'appuie sur la formule du binôme; dans la seconde méthode, dont l'exposition est beaucoup plus simple et plus rapide, on opère directement en ayant recours à la théorie des permutations avec groupes d'objets identiques et des combinaisons avec répétition des objets.
303. Première méthode. — En considérant deux termes d'un trinôme comme n'en formant qu'un seul, on peut ramener à la formule du binôme les puissances de ce trinôme; et, en appliquant de proche en proche le même procédé, on peut ramener à la formule du binôme les puissances d'un poh^nôme quelconque.
Soit d'abord le trinôme (a+ô-hc) à élever à la puissance m. En regardant a-^h comme un seul terme, 11 vient (255)
l+6 + c)'«=:(Gf-f-6)'"+ — (a-h6)'"-'c+ ^»(^^ — 0 . ^.„,,,^;
11 reste à développer dans le second membre les différentes puissances du binôme (a -\- b).
On obtiendra ainsi évidemment une série de termes dans
2j4 algèbue supérieure.
lesquels la somme des exposants des lettres a, b, c, sera constamment égale à m.
Par exemple, les termes provenant du terme général
— ,r^ !^ '- ' (a -t- b)'" -Pci'
contiendront tous le produit de cp par des puissances de a et de b dont la somme des exposants sera toujours m —p.
Réciproc|uement, si a, (3, y désignent trois nombres entiers satisfaisant à la condition
a + 3 H- y ^ tn,
le développement i-enfermera nécessairement un terme en a'^b'^c'!.
En eiïel, le développement renferme un terme en cTqui est
mi m — \.) (m — 1) . . Am — y + 1 1 ,
(i) -^ —^ ^ ^-^- (a-T-^)'"-ïcr,
et (a-+- 6)'"~T renferme un terme dans lequel a et 6 ont des exposants a et {3 tels que la condition a -h {3 = /?i — y ou. a + [3 + y =3 /n soit satisfaile.
Cherchons l'expression du coefficient du terme en a'^b'^c'î.
Par une transformation connue (223), on peut mettre ce terme représenté par l'expression (i) sous la forme
Dans le développement de (a -h 6)"'~"'', le terme en a* 6? ou en a^b"'-y-'^ a d'ailleurs pour coefficient, d'après la môme transformation,
al {m — y — a ) !
Le coefficient du terme en a^b?c^ est donc
m ! (m — y ) ! in\
y\{rii — y ) ! a ! ( m — y — a ) ! y\ y.\{ni — y — a ) !
et ce terme lui-même a pour expression, en tenant compte de la relation a + (3 4- y = w,
a! p! yl
Al.Gi;i3RE SUPÉRIEURE. 255
Pour avoir maiiitciianl tous les termes du développement de (rt 4- 6 4- c)"S il suflil de substituer dans l'expression précédente toutes les valeurs de a, (3, y, qui, en restant comprises entre o et m, salisfont à la condition a -h (3 -i- y = m.
304. Il faut seulement faire cette restriction que, pour a =: o, par exemple, la suite correspondante a! doit être remplacée par l'unité.
En effet, le terme considéré répond alors au dernier terme du développement auxiliaiie de {a -\- è)^^P ou de {a -h 6)'"-ï, qui se réduit à h?' ou à 6'"-Y affecté du coefficient i. 11 faut donc que le coelficient
{ni-y)\ ix\ {m — y — a ) !
qui devient — r dans le cas de a =: o, représente lui-même a!
l'unité dans celte hypothèse; ce qui conduit à la convention
indiquée.
305. Le même raisonnement est applicable à la recherche du lerme général de la puissance /«'«"^ d'un polynôme quelconque
Posons, en effet,
JCz:^h-\-C-\-d-\-....
La |)iiissance cherchée deviendra
(a + ^)'", et son terme général sera
Posons alors
nous aurons
a! {ni — a) !
et le terme général de ce nouveau développement sera
206 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Le terme général du développement {a + x)"^ ou du développement cherché deviendra donc
ou, en simplifiant,
al [i! (m — a — (3)! -^
Posons encore
et nous aurons
Le terme général de ce dernier développement étant
le terme général du développement cherché deviendra, après simplification,
JUl a^b'^C^ m-a-.S-y
La loi est évidente et, en continuant, on trouvera, pour terme général du développement de
l'expression
On en déduira tous les termes du développement en substituant à oc, p, y, o, . . ., toutes les valeurs qui, en restant comprises entre o et m, satisfont à la condition
pourvu que l'on convienne de remplacer par l'unité les suites 7.1, (3!, y!, o!, ..., pour les valeurs particulières <x = o, ,3 = 0,
306. Seconde méthode. — Élever un polynôme quelconque a -\- b -t-c-hcZ-T-...
à la puissance m, c'est multiplier entre eux /?^ polynômes
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. sSt
égaux au polynôme donné. Chaque ternie du produit comprendra donc un terme de chacun de ces m polynômes {Alg. élém., 29).
D'ailleurs, comme ces m polynômes sont égaux, la lettre a pourra se présenter c. fois comme facteur; la lettre b, (3 fois; la lettre c, y fois, etc. Le terme général qu'il s'agit de former contiendra donc le produit a'^b^c^cfi... et il aura un coefficient égal au nombre de permutations qu'on peut faire avec m objets, en en supposant a égaux à a, [3 égaux h b,y égaux à c, etc. Ce coefficient sera donc (238).
ou
PaF.3Pyl»5... al(3!y!ô!...
Le développement cherché pourra donc être représenté par la fdrmule
(a + 6 + c + ^ + . . .)'" = y ,^,^,\, a'^b^c'icfi
Pour avoir tous ses termes, il suffira de donner à a, [3, y, à, . . ., toutes les valeurs compatibles avec la condition
en acceptant toujours la convention a ! n= r pour a = o ou, d'une manière générale, la convention Pg^i.
307. On peut demander quel est le nombre des termes du développement, le polynôme donné {a+b-\-c-\-d-\-...) comprenant n termes.
Il est clair que ce nombre est celui des combinaisons qu'on obtient en prenant n objets m à m, avec permission de répétition et n pouvant être moindre que m. En effet, chaque terme du développement doit renfermer comme facteurs, avec permission de répétition, un des n termes de chacun des m polynômes égaux au polynôme donné, qu'on multiplie entre eux. Le résultat cherché est donc ( 235)
(i) (CR)^"= ^(^ + 0(^ + ^)- • -(^^ + m — i)
C'est aussi, comme on l'a déjà remarqué, le nombre de combinaisons sans répétition de (n + /n — i) objets pris m à m. De c. ~ Cours. III. 17
Comme on a (226)
'--'rt+m— 1 — -'n t-rn-it
on peut encore, en remplaçant m par n — i et, par consériuent, n par m -h i , prendre pour résultat
/ N /rn\'n (/w + i)(/?i + 2)(m 4- 3).. .(ffl -T-zt — i) (^) ^^^^^'^ = i.2.3...(n-i)
On emploiera la formule (i) ou la formule (2), suivant que m sera plus petit ou plus grand que n — i.
Applications.
308. 1° Carré d'un polrnôme. — Soit le polynôme (a -+-&-i-c-(- rf h-...) à élever au carré-
On devra faire m = 2 dans la formule générale du n" 306 et, par conséquent, il n'entrera que deux lettres dans chaque terme du développenie^f- On aura ainsi
avec la condition a -i- 3 = 772 = 2.
Si l'on suppose a = 2, on a j3 = o.
Par suite, P2 = 2, ?«= 2, Pp= i (d'après la convention du n" 304), et l'on déduit du terme général des termes de la forme «-.
Si l'on suppose a = i, on a ^ = i.
Par suite, ?»= 2, Pa= ij P3 = i- et Ton déduit du terme général des termes de la forme lab.
Si l'on suppose a = o, on a ^ = 2, et l'on retombe sur le premier résultat.
On a donc finalement
(rt -+- Z) -H C -f- C? H- . . . )2 = S «2 , V 2 <?&.
C'est la loi connue {Aig. élém., 22ii qu'on énonce en disant que le carré d'un polynôme renferme les carrés de tous ses termes et les doubles produits de tous ses termes pris deux à deux.
309. 2° Cube d'un polynôme. — Soit le polynôme (a -H 6-1- c -i- f/-i- ...) à élever au cube.
On devra faire m = 3 dans la formule générale du n" 306 et, par conséquent, il n'entrera que trois lettres dans chaque terme du développement. On aura ainsi
(« ^ z, + c + rf +. . .)3 = 2 p7^ «'^'^^^'
avec la condition a -h |3 -1- y = 3.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. qSo
Si l'on suppose a = 3, on a j3 = o et y = o.
Par suite, P3 = 6, Pa=6, Pp=i, Py = i (par convention), el l'on déduit du terme général des termes de la forme a^.
Si l'on suppose a = 2, on a ^ = i et y = o om j3 = g et y = i •
On a donc, dans les deux hypothèses, P3 = 6, Pa = 2, Pp = i , Py = i , et l'on déduit du terme général des termes de la forme 3a^b ou 3a'^c, c'est-à-dire de la môme forme.
Si l'on suppose a = i, on a en môme temps p = 2 et y = o, ou [3 = i et Y = I ou ^ = o el y = 1.
On a donc, successivement,
Pp=-*,
Pï =
ou
Pa=',
Pp=',
Py =
ou
Pa=',
Ps=.,
Py =
et le terme général conduit à des termes de la forme 3ab'^ ou 6abc ou 3rtc2, c'est-à-dire à des termes de la forme Za'^b déjà obtenue et à des termes de la forme 6 «6c.
Enfin, pour a = o, on retombe évidemment sur l'un des résultats précédents.
On obtient, par suite, la formule
(rt-4-6 + cH-^-i-...)3=Srt»-+-23rt2è-f- Z6aùc.
On en conclut que le cube d'un polynôme est e'gal à la somme des cubes de tous ses termes plus trois fois la somme de tous les produits résultant de la rmdtiplication du carre' d'un ternie par la première puissance d'un autre terme, plus six fois la somme des produits de tous les termes pris trois à trois.
310. 3° Formule du binôme. — La formule générale, que nous avons démontrée par notre seconde méthode (306), doit contenir celle du binôme. En effet, si le polynôme donné est x -^ a^ on a, d'après cette formule générale,
avec la condition a -1- p = m, d'où p = /n — a. Il vient donc
Le coefficient placé sous le signe 2 étant égal à
-f- ■—-, OU à C?„ (223),
26o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
le terme général du développemenl ii'esl autre chose que
et se confond avec le terme général de la formule du binôme (2^)6).
Racines d'un polj'nôme.
311. Admettons qu'un polynôme entier P, ordonné suivant les puissances décroissantes d'une certaine lettre ordonnatrice, soit la puissance /n*^™« d'un autre polynôme entier Q ordonné de la même manière. Le polynôme Q est alors la racine /n'*™« du polynôme P, et l'on peut poser
Q = a-^b-hc + d-Jr...-{-fc-hl = "\/P.
Connaissant P, on se propose de trouver Q.
312. Si l'on regarde Q comme un binôme formé de son premier terme a et de l'ensemble de tous ses autres termes considérés comme un seul terme, on aura (255)
L'expression (i) est une identité. Comme on suppose les deux polynômes ordonnés de la même manière, le premier 1 terme de P doit être égal à a'" et, par suite, le premier terme a de la racine Q est la racine m'ème du premier terme de P.
On peut donc énoncer cette première règle :
Pour trouver le premier terme de la racine m'*'"* d'un polynôme, on n'a qu'à extraire la racine m''«'"« du premier terme de ce polynôme.
Si le premier terme de P est kx"^, on aura donc
a = "\fkx^ = x'^ "\J\.
Les deux polynômes P et Q étant supposés entiers par rapport à ^ et de plus réels, n devra être un multiple de m el A devra être positif si m est pair (130, 2°). On pourra alors accepter
ALGÈBIîE SUPÉRIEURE. 2()I
les deux valeurs réelles de "\/Â, qui sont égales et de signes contraires (130, i"). Si m est impair, "\fk n'aura qu'une seule valeur réelle de même signe que A (130, 3").
Nous remarquerons immédiatement, avant d'aller plus loin que le dernier terme de la racine supposée exacte peut s'obtenir immédiatement comme le premier terme, e/i extrayant la racine m"^'"^ du dernier terme de P.
En effet, si l'on regarde la racine Q comme formée de l'ensemble de tous ses termes, moins le dernier, et de ce dernier terme l, le dernier terme de Q'" est évidemment /'". Si L est le dernier terme de P, on a donc identiquement
L=Z'" ou / = "v^.
313. Il s'agit maintenant d'obtenir les autres termes de la racine Q, à partir du deuxième terme.
Pour cela, nous déduirons de l'égalité (i) la valeur deP — a'", et nous aurons ainsi un premier reste U, qui sera
'{b^c + d-\-...-^k-^lY
Il est évident que le premier terme de Ri, qui est en même temps le premier terme de P — a'"- ou le second terme de P, est sans réduction ma"'-'^b, puisque les deux polynômes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes de la même lettre et que ce terme ma"'-'^ b contient alors la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé que tous les autres termes du second membre de l'égalité (2).
Il en résulte qu'en divisant le premier terme de R, parma'"-', on obtiendra nécessairement pour quotient le deuxième terme b de la racine Q.
Continuons. La partie écrite à la racine étant a -\- b, regardons Q comme composé d'un premier terme (a-f- b) et de l'ensemble de tous ses autres termes comme second terme. Nous aurons ainsi
-+- "^^"^ ~'' {a + b)"'-- {c-hd-^...-\- k-^lf + ..
ALGEBRE SUPERIEUllE.
Nous déduirons de l'égalité (3) la valeur de P — (0-4- b)'", et nous aurons ainsi un deuxième reste R2 qui sera
Il est évident que le premier terme de R, est, sans réduction, ma"^-'^c, parce que ce terme contient la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé que tous les autres termes du second membre de l'égalité (4).
Il en résulte qu'en divisant le premier terme de R, par /na'"-i, on obtiendra nécessairement pour quotient le troisième terme c de la racine Q.
On peut poursuivre d'une manière analogue ; la loi est générale, et l'on peut énoncer celte seconde règle :
Pour trouver les différents termes de la racine, à partir du deuxième ternie, on n'a qu'à diviser par le diviseur constant ma"^-^, c'est-à-dire par m fois la {m — \yé'"e puissance du premier terme de la racine, le premier terme de chacun des restes successifs Ri, R,, R3, .. ., ces restes s'obtenant d'ailleurs en retranchant du polynôme P la m^^"^' puissance du premier terme, des deux premiers termes, des trois premiers termes, etc. de la racine Q.
31i. Lorsqu'on parvient au dernier terme l de la racine Q, on doit obtenir un reste nul, puisqu'on retranche alors Q'" de P.
Réciproquement, un reste nul indique que la racine est complèie, puisque la /n'^"^ puissance de cette racine repi-oduit le polynôme donné.
315. Nous ne nous arrêterons pas au cas où la lettre ordonnatrice entrerait avec le même exposant dans plusieurs termes de P. Il n'y a alors qu'à se reporter à ce qui a été dit sur ce sujet, pour la division et l'extraction de la racine carrée des polynômes {Alg-. élém., kl, 226).
Des racines inexactes.
316. Nous avons supposé jusqu'à présent que P était la puissance /?«'«="« exacte d'un certain polynôme Q.
Si cette condition n'est pas remplie, mais si l'on peut, toutefois, commencer l'extraction de la racine m'«"« de P en appliquant les deux règles énoncées plus haut (312, 313), on voit, d'après ce qui précède, que le polynôme P sera, à un instant donné, égal à la /n'^™^ puissance de la partie S écrite jusque-là à la racine, plus le reste R correspondant, et qu'on
aura l'identité
Mais l'opération n'aura pas de fin, puisque R ne peut pas être nul, et, en la poursuivant, on obliendra une suite illimitée de termes où l'exposant de la lettre ordonnatrice deviendra négatif et croîtra indéfiniment en valeur absolue. Ces exposants négatifs n'apparaîtront que si l'on atteint le reste de degré inférieur à S par rapport à la lettre ordonnatrice.
On peut remarquer l'analogie qui existe ici entre l'extraction des racines et la division des polynômes {Alg. éiém., 90, 227).
317. Lorsque le premier et le dernier terme du polynôme P ne sont pas tous deux des puissances m'«™«* exactes, on peut affirmer qu'aucun polynôme Q, tel que nous l'avons défini, ne peut être la racine /n>«™« de P (312).
Si la racine /?î>^'"^ du premier terme de P a un coefficient irrationnel, il peut se faire que la racine m'ème ^q p^ alors à coefficients irrationnels, soit rationnelle par rapport à la lettre ordonnatrice. Mais, si la racine m}^"^" du premier terme de P est complètement rationnelle, l'opération continuée ne peut amener à la racine que des termes rationnels. Il faut donc que le dernier terme de la racine soit aussi rationnel, c'està-dire que le dernier terme de P soit, comme son premier terme, une puissance /7i'«™« exacte. S'il n'en est pas ainsi, l'extraction de la racine est impossible exactement.
318. Il est inutile d'appuyei" sur l'analogie qui existe entre l'extraction de la racine /«'^'"^ des polynômes et celle de leur racine carrée, et de revenir sur la tbéorie de cette dernière, développée précédemment {Alg. élém., 226 à 229).
Nous ferons seulement remarquer que, si n est le degré d'un polynôme P, on ne peut commencer l'extraction de la racine carrée dans les conditions admises, que si n est pair. Alors, en poursuivant l'opération jusqu'à ce qu'on parvienne à un
264 ALGÈBRE SUrÉRlEURE.
reste R de degré inférieur à la partie S écrite à la racine ou
de degré inférieur à — ? on obtient l'idenjlité
P=zS-+R.
On peut dire, dans ce cas, que ± S est la racine carrée de P, et R le reste de l'opération.
Il est d'ailleurs facile de voir que cette décomposition de P n'est possible que de la manière indiquée.
Supposons, en effet, qu'on puisse avoir
P=S2+R et P = S'24-R'.
Il en résulterait identiquement
ou
Mais S et S' sont de degré - par rapport à la lettre ordonnatrice, R et R' sont de degré inférieur. L'identité précédenle est donc impossible (18), à moins qu'elle ne se réduise à o=:o. Mais on a, dans celte hypothèse,
(S+S'j(S-S')=o et R'— R = o
ou
S=±S' ef R = R'.
La racine carrée de P n'admet donc bien que deux valeurs égales et de signes contraires, et l'opération conduit toujours au même reste.
Applications.
319. 1° Extraction de la racine /w'è/ne ^g.y nombres entiers. — Comme un nombre entier peut toujours être regardé comme la somme de ses dizaines et de ses unités, il est facile de lui appliquer les principes précédents, quel que soit le degré de la racine qu'on veuille extraire, en raisonnant d'ailleurs comme nous l'avons fait en Arithmétique pour la racine carrée et pour la racine cubique.
Quand le degré de la racine est un nombre composé de facteurs premiers 1 et 3, on n'a qu'à extraire successivement des racines carrées et cubiques (J37). Ainsi,
.Mais, quand les facteurs premiers de l'indice de la racine sont différents de 2 et de 3 ou quand ce degré est lui-même un autre nombre premier, il faut opérer directement..
Soit, par exemple, à extraire la racine cinquième d'un nombre.
On commencera par former le tableau des puissances cinquièmes des neuf premiers nombres. Ce tableau permettra d'obtenir, à l'unité près, la racine cinquième des nombres moindres que lo*, c'est-à-dire qui n'ont pas plus de cinq chiffres {AritJwi.^ 278).
Quand le nombre donné aura plus de cinq chiffres, sa racine cinquième en aura au moins deux, et l'on pourra la regarder comme composée de a dizaines et de b unités. Cette racine sera alors exprimée par («. lo -f- /;), et l'on aura (2jo)
( (7 . J o -f- Z^ )5 = «5 ^ I QÔ ) 5 ^(i [ 04 ^ (
Soit, pour fixer les idées, le nombre 14348907 dont on veut extraire la racine cinquième.
La cinquième pui^sance des dizaines de la "acine ne pouvant donner que des centaines de mille, on est conduit à partager ce nombre en tranches de cinq chiffres. Ici, on n'a que deux tranches, et l'on doit extraire la racine cinquième de la plus grande cinquième puissance renfermée dans la dernière tranche i43. Comme on a 25—32 et 30=243, le chiffre des dizaines de la racine est égal à 1. En retrancl'.ant 2^.105 du noml^re proposé, on a pour reste 11148907. Ce reste est supérieur au deuxième terme bci*.\o'*.h du développement de la racine, qui ne peut donner d'ailleurs que des dizaines de mille, il en résulte que le nombre 1114 des dizaines de mille du reste est au moins égal k 5a'*i>. Eu divisant 11 14 ()ar5<ï*, ou par 5.2^= 80, on obtiendra donc un chiffre égal ou supérieur au chiffre b des unités de la racine.
Le quotient de 1114 par 80 étant supérieur à 10, on essayera d'abord le chiffre 9, en cherchant si la cinquième puissance de 29 peut se retrancher du nombre considéré. Comme cette puissance est trop grande et qu'il en est de même de celle de 28, nous descendrons jusqu'à 7, (pii est le chiffre b des unités; 27^ reproduit précisément le nombre donné, et l'on a exactement
Quand on a besoin d'extraire des racines numériques de degré élevé, il est d'ailleurs toujours plus simple d'opérer par logarithmes.
ALGEBRE SUPERIEURE.
320. i" Dans toute prngresxinn par différence dont la raison est l'unité, le produit de quatre ternies consécutifs quelconques augmente de I est toujours un carré parfait.
Soit X un terme quelconque de la progression. Les quatre termes consécutifs que nous devons considérer seront jt, a: -i- i, .r -i- 2, x -i- 3, et il faut prouver que
N = x(j:-i-i)(j:-r-2)(x-i-3)-f-i = .r*-+-6jr3-(-m:2-+-6.7--i-i
est un carré parfait.
Nous n'avons qu'à essayer d'cxlnure la racine carrée de N suivant la règle connue qui se confond avec la règle générale (312, 313). Nous aurons {Alg. élém., 226 j
x* + 6 .r^ -f- I T .r- -H 6 j: -f- 1 6.r3 -\- iix--^ Ç)X -i- I IX- -\- 6.r-i- I o
Zx)'ix (ùX -h 1)1
On trouve un reste nul, et l'on a N =(x2- Le théorème est donc démontré.
321. 3° Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que la polynôme du quatrième degré
Ao-r^-l- Aior^-i- A.2X--\- A3J: -i- A4
soit un carré parfait.
On essayera l'extraction de la racine carrée du polynôme, et l'on poursuivra l'opération jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste du premier degré en x. En écrivant que ce reste est identiquement nul, on obtiendra évidemment les conditions cherchées.
Le calcul se présente comme il suit :
Ao X* -i- Al x'^ -t- A2 J.'- -T- A3 X -T- A4 Al jc^ -h A2 .r- -H A3 j: -T- Al A^
AsJ^-H Al
. Ai(4AoA,-Af)-| , r (4AoA,-Af)n
\f\oX^-\-
Al 4Ao.\î-.\î 2v/Â^ SAov/Â;
1 '/KqX''--
, Al ^ , 4AoA,-Af ^\/Ao SAov'Ao
4AnA,— Af
8Aov/Â^
Le reste du premier degré ea ,r peut donc se mettre sous la forme
8AgA3— 4A0A1A2+AÎ 04Af,At-i6AgA|^8AoAf A2- At
8A^ ■^'^ 64 Ao»
et les conditions pour que le polynôme donné soit un carré parfait sont évidemment
(1) A?-4AoAiA2-f-8A2A3=o,
(2) A* — BAoAf A2-i-i6A|Ai — 64A2A4= o.
On pourrait traiter la question d'une autre manière en se reportant à l'exemple du n° 29, où nous avons cherché les conditions de divisibilité du même polynôme du quatrième degré par le trinôme du second degré Bo.r2+ Bi.r -r- B2. En exprimant que ce diviseur et le quotient trouvé alors sont identiques, on pourra éliminer les coefficients Bo, Bi, B2 du diviseur qui deviendra la racine carrée obtenue ci-dessus. Puis, en introduisant les valeurs de Bo, Bi, B2 dans les équations de condition (i) et (2) du n° 29, on retombera sur les équations de condition que nous venons d'écrire.
322. 4° appliquer la méthode des coefficients inde'terinine's (Livre F', Ch. iii) à l'extraction de la racine m^^"^^ des polynômes.
Admettons que le polynôme inconnu
ao X" -i- ai .r«-i + . . . 4- a„, soit la raci.ie w'"" exacte du polynôme donné
AorP-f- Ai.r/'-J-f-. ..+ Xp.
On devra avoir identiquement
(ao.r«-f- ai.r«-i-l-. . .-h a„)'"= Ao-r/^-f- A,,r/^-i-+-. . .-(- A^. Les deux polynômes devant être de même degré (18), on aura
mn = p Il faut donc, pour que le problème soit possible, que p soit un multiple de m. Si cette condition est remplie, n = — sera le degré de la racine.
et l'on connaîtra le nombre de ses coefficients a^, aj, a^, . . ., a„.
En élevant cette racine à la puissance «, on obtiendra un polynôme de degré p comme le polynôme donné et, en égalant, pour les n -4- 1 premiers termes, les coefficients des mômes puissances de x dans les deux polynômes, on aura n + 1 équations pour déterminer les n -+- 1 inconnues. Les équations qui exprimeront l'identité des termes suivants des
208 ALGÈBRE SLPÉRIEIRE.
deux polynômes, et dont le nombre sera égal àp — n. seront des équations de condition qui devront être satisfaites d'elles-mêmes.
Les n -M équations qui déterminent les coefficients de la racine ont une forme qui rend leur résolution très facile. La première équation ne renferme que ao; la deuxième équation ne contient que ao et ai, et ao étant connu, elle donne ai qui n'y entre qu'au premier degré; la troisième équation ne contient que ao, aj, a2, et ao et aj étant connus, elle donne a., qui n'y entre qu'au premier degré; et ainsi de suite.
Remarquons, en effet, que, si l'on effectue le développement de
(ao.r'î+ aiJ:"-»-f- OLiX'^-^-^. . . -i- a,.r«-'-l-. . .-+- a^i)"»,
a/ ne peut appartenir à aucun terme dont le degré en x soit plus élevé que {m — i)« -{- n — i ou que mn — i (30b). Les i premières équations d'identité (il y en a en tout mn-hi ou /j-f-i) ne contiendront donc pas a;. Quant à la (/ -f-i)'^""" équation, elle renferme a, au premier degré; car, dans le développement ci-dessus, il n'y a qu'un seul terme du degré mn — i par rapport à x, et il a pour expression (306)
az-r^-'^ao-r")"»-! ou wa^ aJ"-' j;'""-'.
323. 5° Chercher, par la me'thode des coefficients indéterminés, les conditions pour que le polynôme
Ao^:^-!- Ai-r^-i- A^x -^ A3
soit un cube parfait.
La racine cubique, supposée exacte, de ce polynôme est de la forme %qX -^ aj. On posera donc
Aoj:^-)- Aij;2-+- A2.r -+- A3
= (ao.r -i- ai)3 = ag j;3-4- 3a5 7.^x--^ 3 Iq^Ix -i- af .
On a, par suite, pour conditions d'identité,
a» = Ao, 3a2ai = Ai, 3aoaf=A2, aJ = A3.
On déduit des deux premières
3/.- „. -f^i Al Al v/Â^
ao = /Ao et - — — —
La racine cubique du polynôme donné est ainsi v/Ao^"^"-3Âr"
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 26q
Les deux autres relations d'identité sont les équations de coodilions cherchées. En remplaçant ao et ai par les valeurs précédentes, elles deviennent
c'est-à-dire
(i) Af= 3A0A2,
(2) Al^2yAliU
270 ALGEBRE SUPElilEURE.
