X = YZ

limX = lim'^' liinZ,

288 ALGÈBRE SUPl^RIEUKT .

c'est-à-dire

l, — Ul ou ^'=T*

345. VI. La puissance entière d'une quantité variable a pour limite la même puissance de la limite de cette quantité, pourvu que l'exposant de la puissance soit un nombre fini.

Soient X la quantité variable élevée à la puissance /> et / la limite de X.

X^ étant le produit de p facteurs égaux à X, la limite de X^ sera le produit des p limii< s de ces facteurs, c'est-à-dire Ip, puisqu'on suppose p fini (343). On aura donc

Wm^P = IP = {\\n\y^)P .

346. VII. La racine d' une quantité variable a pour limite la même racine de la limite de celte quantité.

Soit X la quantité variable, dont on a à prendre la r;icine „^ième. soient / la limite de X et À la limiie de "v^X. On a identiquement

Les deux membres de cette égalité étant constamment égaux ont des limites égales (334). On a donc, en appliquant le théorème précédent (345) au premier membre,

//«= l ou A = \i i.

On voit que m doit être un nombre fni.

347. Ce qui précède permet de généraliser le théorème VI et de l'étendre aux cas où l'exposant de la puissance considérée d'il fractionnaire on négatif .

Soit d'abord la quantité variable X dont la limite est /. Dé-

signons par X la limite de X'" ou de "y/X^ (140).

La limite de X'^ étant Ip (345), la limite de V^ sera "{/V' (3'!6). On aura donc

l = 'IUp ou l = 1'" .

Soit maintenant la puissance négative X"*?, dont nous désignerons encore la limite par >., celle de X étant toujours /.

ALGÈBllE SUPÉIUEURE. sSc)

Comme on a constamment (IVo)

limX-^ =: lim ^,

on a aussi (334)

c'esl-à-dire (3U, 345)

/. = — ou 'A— M.

Le théorème relatif aux puissances (345) est donc complètement généralisé, et la puissance d'une quantité variable a toujours pour limite la même puissance de la limite de cette quantité, que l'exposant de cette puissance soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif , pourvu qu il reste fini.

Principe fondamental.

348. Tous les théorèmes démontrés ci-dessus ne sont que des cas particuliers du principe fondamental qui constitue, en réalité, la méthode des limites et que nous avons déjà indiqué {Géom., 217).

Nous rappelons ici en quoi il consiste.

Quand on veut trouver une relation entre des grandeurs qui ne se prêtent pas immédiatement aux comparaisons nécessaires, on peut essayer de les remplacer par des grandeurs variables plus simples, dont elles soient les limites. Si l'on y parvient, le problème est résolu. C'est ce que nous avons fait constamment en Géométrie, pour la mesure des lignes et des surfaces courbes et pour celle des volumes terminés par des surfaces courbes.

Considérons, pour préciser, une équation quelconque entre des grandeurs variables a^ j, z, ..., qui tendent vers leurs limites a, b, c, . . . . Cette équation sera de la forme

et nous admettons que les fonctions F et cp demeurent con^fnues {Alg, élém., 310), au moins lorsque les variables x, r, s, . . . sont voisines de leurs limites respectives a, b, c, .... Les différences de x,y,z, . . ., à leurs limites, pourront alors

De c. — Cours. 111. ly

2gO ALGÈBRE SL 1 M I. I KCRE.

être assez petites pour que les fonctions F{x,y,z, ...) et 9(^, j, z, . . .) diffèrent elles-mêmes aussi peu qu'on voudra de F(a, b, c, . . .) et de o{a, b, c, . . .). qui représenteront, par conséquent, les limites des deux membres de l'équation (i). Comme les limites de deux quantités égales sont égales (33i), on aura finalement

Ainsi, lorsqu'on veut obtenir une relation entre des quantités considérées comme limites de quantités variables d'une espèce plus simple, on cherche d'abord une relation entre ces quantités variables; puis, on n'a plus qu'à y substituer aux quantités variables leurs limites, pour avoir la relation qui lie ces dernières.

En d'autres termes, lorsque des grandeurs variables tendent vers leurs limites, toute fonction de ces variables tend. en général, vers la même fonction de ces limites.

Celte proposition fondamentale résume la méthode des limites, et l'on voit qu'elle renferme tous les théorèmes précédents, qu'on aurait pu énoncer immédiatement comme il suit, en vertu de ce principe :

Lorsque des quantités variables tendent vers leurs limites, leur somme a pour limite la sonijne de ces limites, leur produit a pour limite le produit de ces limites, etc.

Théorème relatif aux moyennes.

3i9. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant un théorème sur les moyennes, qui se rattache utilement aux applications de la méthode des limites.

On appelle, comme on sait, moyenne de plusieurs quantités données, une quantité formée à l'aide de ces quantités et comprise entre la plus petite et la plus grande {Ârithm., 198).

Soient a, a' , a", . . . des quantités de même signe, et b, b' , b' , ... des quantités de signes quelconques, en nombre égal aux précédentes.

Désignons par y et par ô le plus grand et le plus petit des

• b b' b" rapports -, -7, ^j • • •• * ^ a a a

ALGEBRE SUPERIEUUK.

Les différences

d'une part, et

d'autre part, seront toules de même signe {Alg. élém., 214). En multipliant les termes des deux suites respectivement par a, a', a" , . . ., on aura encore des termes de même signe, savoir

ay — b, «'•/ — b' , a" y — b" , . . . ,

b — ao, b' — a'o, b"—a"d, ....

Faisons maintenant la somme des termes de chacune des nouvelles suites obtenues et divisons chaque résultat par a -+- a!-\- a"+. . . . On aura, pour quotients,

et ces quotients seront encore de même signe. Il en résulte que la quantité

b b' b" est une moyenne entre les rapports -? — ,) — ;> ■••■> comme si ■^ ^ ^ a a' a"

les quantités b, b', b", . . . étaient toutes de même signe

{Alg. élém., 66); ce qu'on peut indiquer en écrivant

( ' ) 1 7, = moy . - , — : J -r, 5 •

Si toules les quantités a, «', a" , . . ., en nombre n, deviennent égales à l'unité, on retrouve, en particulier, pour des quantités de signes quelconques, l'expression de la mojenne arithmétique {Arithm., 198)

Enfin, si l'on remplace, dars la relation (i), b, b', b", ..., respectivement par les produits ab, a'b', a" b", . . ., ce qui est

permis, puisque b, b' , b" , . . . sont des quantités quelconques de signes quelconques, il vient, en chassant le dénominateur,

(3) àb^a'b'-ha"b"

;(« + a'4- «"+...) moy. (6, b',b", ...).

La somme des produits ab, a' b' , a" b'\ ... est donc égale à la somme des facteurs de même signe a, a', a", . . . , multipliée par une moyenne entre les facteurs de signes quelconques b,