P(A-X) = PA-PX
les deux membres de cette égalité ont donc la même limite (33'i.).
-Mais, puisque X a pour limite A, le premier membre a pour limite zéro (336), et il en est de même du second. On a, par conséquent,
lim(PA — PX)=:o ou limPX^PA.
ZW. II. La limite de la différence de deux quantités variables est égale à la différence des limites de ces quantités.
Soient X et Y les deux quantités variables, /, et 4 leurs limites, a et (3 les différences qui existent à un instant donné
286 ALGÈBRE St'PÉUIEURE.
entre X et Y et leurs limites, différences qui sont des infiniment petits (336). On a d'abord
X = /, -F a et Y = 4 + 3, d'oij
A la limite, a el [î s'annulent, et il reste
lim(X — Y) = /, — /o.
3i2. III. La limite de la somme de n quantités variables est égale à la som.me des limites de ces quantités, pourvu que n soit un nombre fini.
Considérons les n quantités variables X, Y, Z, . . ., dont les limites sont /,, l^, 4, ....
Les différences /j — X, /, — Y, U — Z, ... sont des infiniment petits (336).
La somme de ces n différences est moindre que n fois la plus grande d'entre elles, que nous désignerons par y.\ mais, la limite de a étant zéro, il en sera de même de celle du produit ny. (3i0) et, a fortiori, de celle de la somme des n dilïérences considérées. On peut donc poser
lim[(/, — X) + (/o— Y)-t-(/3 — Z)+...] = o
ou
lim[(/i -^ /, -+- 4 -h. . .) — (X -^ Y + Z +. . .)] = o,
c'est-à-dire
lira ( X -1- Y -h Z ^- . . . ) = /i H- 4 4- /s 4-
Ainsi, la limite d' une somme est la somme des limites de ses parties.
La démonstration et le théorème seraient en défaut, si n n'était pas un nombre fini. L'Algèbre l'indique en donnant uu produit «a, pour n =lcc, la forme indéterminée oo x o {Alg. élém., 119).
On le voit d'ailleurs bien simplement, en partageant un nombre donné a en n parties égales. On a alors, quel que soit «,
a= 1 1 h. ..(«lois).
Si l'on fait croître indéfiniment n, la limite de chaque partie
ALGÈBRE SUPÉRIEL'UE. 28"
est zéro, et la limite de leur somme est cependant toujours égale à a.
3i3. IV. La limite du produit de n facteurs variables est égale au produit des limites de ces facteurs, pourvu que n soit un nombre fini.
Soient X, Y, Z, ..., W les n facteurs variables, et /j, l.^, I3, ..., In, leurs limites respectives. En désignant par a, (3, y, . . ., V les difTérences qui existent à un instant donné entre ces facteurs et leurs limites, et qui sont des infiniment petits (336), on peut poser les égalités
En ujullipliant toutes ces égalités membre à membre, il vient
XYZ...W=(/, + a)(4 + (3)(/3 + 7)...(/„+v).
Le second membre de cette dernière égalité contient un nombre de termes représenté par 2" {Alg. élém.,'29). Le premier de ces termes est évidemment lil-îl^ . . . /„. Tous les autres termes, en nombre égal à 2" — i, renferment au moins un des infiniment petits a, j3, y, ..., v, et tendent, par conséquent, vers zéro quand les facteurs variables tendent vers leurs limites (336, 3V0). Il en est donc de même de leur somme, à la condition expresse que 2" — i ou n soit un nombre fini (3i2). On a alors, à la limite,
limXYZ...W = /,/,/3.../„.
3ii. V. La limite du quotient de deux quantités variables est égale au quotient des limites du dividende et du diviseur.
Désignons par /, et 4 les limites des quantités variables X et Y; soient Z leur quotient à un instant donné, et "k sa limite.
De l'égalité
on déduit
On a donc (3i3)
