II. Considérons la série I I I I I I I
ALGEBRE SUPERIEURE. OO I
dont les termes ont évidemment zéro pour limite : nous allons prouver que cette série est divergente.
Laissons de côté les deux premiers termes i h — et aroii-
pons les autres termes en en prenant deux d'aijord, puis quatre, puis huit, puis seize, etc., indéfiniment, en doublant toujours le nombre des termes lorsqu'on passe d'un groupe au suivant. En remarquant que le dernier terme de chaque groupe est le plus faible, nous aurons alors les inégalités
\6 i/} 10 ib
I I / p -\- o ip \
On voit que, k étant le rang du groupe qui commence par la fraction ■> on a /? ^ 2* et que le groupe comprend
2^ termes.
11 résulte des inégalités précédentes que, si l'on met à part les deux premiers termes de la série, on peut la décomposer
en groupes successifs, tous supérieurs à -• Comme la série se
poursuit d'ailleurs indéfiniment, on obtient autant de groupes que l'on veut, de sorte que la somme des termes de la série croît indéfiniment à mesure qu'on en prend davantage et que la série est, par conséquent, divergente (352).
364. La série qu'on vient de considérer s'appelle la série harmonique. Il n'est pas inutile d'indiquer d'où lui vient ce nom.
Nous avons rappelé {Ge'om., 137) que trois quantités «, 6, c, rangées par ordre de grandeur, forment une proportion harmonique lorsqu'elles
satisfont à la relation
302 ALGÈBRE SUPHRIKCRE.
Le second nombre b est la moyenne harmonique entre les deux nombres extrêmes a et c.
Ainsi, les trois nombres i5, 12, io,forment une proportion harmonique,
puisqu'on a
Or, si l'on se reporte aux notions d'Acoustique données en Physique, on trouve que les nombres i5, 12 et 10 sont précisément proportionnels aux longueurs des cordes sonores qui, sous la même tension, rendent les notes ut, mi, sol de l'accord parfait, ce qui justifie l'expression de proportion harmonique.
Cela posé, il est facile de voir que, lorsque trois quantités forment une proportion harmonique, leurs inverses sont en progression par différence et réciproquement .
De
on déduit, en effet.
ac — 6c = ah — ac ; et, en divisant par abc les deux membres de cette égalité, on a
Les quantités -•, j-, - sont donc bien en progression par différcnco {Alg. élém., 322).
Réciproquement, si les quantités -■> ji - sont en progression par différence, leurs inverses a, b, c constituent une proportion harmonique;
car, de
b a c b on déduit immédiatement
ah bc b — ce
D'une manière générale, rf^f quantités a, b, c, d, e, f, . . ., en nombre quelconque et rangées par ordre de grandeur, forment une progression harmonique quand trois termes consecutijs forment une proportion harmonique. Les inverses de ces quantités forment alors, d'après ce qu'on vient de démontrer, une progression par différence.
Réciproquement, les inverses des termes d'une progression par différence forment une progression harmonique.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3o3
Or la plus simple des progressions par différence étant M.2.3.4.5.../^.(/^-^I).(/^-l-2). ..., la plus simple des progressions harmoniques est la série I I I [ II I
IH H--!---t- r-t-...H 1 1 1- . . .
1 6 4 "i II n -^ \ Il ^ 1
d'où son nom de série harmonique.
Caractère général de convergence.
365. III. Pour qu'une série soit convergente, il faut et il suffit que , pour n assez grand, la somme des p termes qui suivent les n premiers soit inférieure, en valeur absolue, à une quantité donnée aussi petite qu'on voudra et ait pour limite zéro quand n croît indéfiniment, lors même que p serait infiniment grand.
Nous remarquerons d'abord que cet énoncé exige que, à partir d'un certain rang, les termes de la série tendent vers zéro (362). Cela posé, soit la série supposée convergente
+ ««-1 + ««+ Un+i-ï- . . .H- «„+p i4- «,,+p-l- ^^„^-p4.l^-....
Pour n assez grand, on peut poser à la fois, par définition (352),
limS„— S et IimS„-,p= S;
on en déduit (341), S^ étant la somme des termes de la série jusqu'à «„i et S„+p la somme des termes de la série jusqu'à
iimS„+^— IimS„=lin!(S,j^p — S,,)=o, c'est-à-dire (1) lim(a„ -!-«„+, + ;/ ,,+2 + - • . 4- «„+p- 1 ) = o.
La condition énoncée est donc nécessaire , puisqu'elle est remplie par toute série supposée convergente.
Elle est suffisante; car, toutes les fois qu'elle est remplie, la série considérée est convergente.
3o4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
En effet, si, l'égalité (i) étant satisfaite, la série proposée n'était pas convergente, elle serait nécessairement divergente ou indéterminée (352). Nous allons montrer que l'une ou l'autre de ces hypothèses est inadmissible.
Supposons que la série soit divergente : la somme de ses termes doit alors croître indéfiniment à mesure qu'on en prend davantage. Or, S„ est une quantité finie et la somme des p termes qui suivent les n premiers diminue et tend vers zéro, quel que soit p, à mesure que n augmente. La somme totale des termes ne peut donc pas croître indéfiniment et la série ne saurait être divergente.
Supposons que la série soit indéterminée. La somme de ses termes doit alors passer successivement et indéfiniment, à partir d'un certain rang, d'une valeur finie A à une autre valeur finie B, différente de la première. Or, quelque grand que soit/>, on peut toujours faire en sorte que S„ corresponde à A et S„+p à B. Dans ce cas, la somme des p termes qui suivent les n premiers se trouverait égale à la différence finie B — A et n'aurait pas pour limite zéro, ce qui e>t contraire à l'égalité (i). La série proposée n'est donc pas indéterminée.
Puisque cette série ne peut être ni divergente, ni indéterminée, elle est convergente.
366. La proposition suivante est une conséquence immédiate du théorème général qu'on vient d'établir :
IV. Une série élant convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, si on les multiplie, à partir d'un certain rang. par des nombres quelconques, positifs ou négatifs, mais finis, on forme une nouvelle série convergente.
Soit la série converj?ente (0
-h «„i -+- «„ -h U„+i + . . . + Un+p-l + . • . ;
la condition (3G3)
lim («„+«„+! + «„+2-t-. . .+ Un+p-i) = o
sera alors remplie.
Multiplions respectivement les termes de la série (i), à partir de «„, par les nombres quelconques A, B, C, . . . , L, . . .,
AI.GÈBRE SUPÉRIEURE. 3o5
finis en valeur absolue. Nous obtiendrons une seconde série
Uq-\- «i-i- U^-h U-j-h...
dont il faut prouver la convergence.
Or on a, d'après le théorème relatif aux moyennes (349),
A Un -h B «„ + , -h C U,t+2 4- . • . + L lln+p-l
= (««+"«+i + "«+2H-- • . + //„+/,-i) moy. (A, B, C, . .., L).
Par hypothèse, le premier facteur du second membre de cette égalité tend vers zéro, quel que soit p, pour n assez grand, et le second facteur a nécessairement une valeur finie. Ce second membre a donc pour limite zéro (340). Il en est, par suite, de même du premier membre; ce qui démontre (365) la convergence de la série (2),
367. Comme les nombres A, B, C, . . ., L, . . . peuvent être tous des fractions proprement dites, ou bien se réduire tous à l'unité en valeur absolue, on peut, d'après la proposition précédente (3G6), énoncer encore les théorèmes suivants :
V. Une série étant convergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, toute série qui, à partir d'un certain rang, a des termes moindres en valeur absolue, est aussi convergente.
VI. Une série devenant convergente lorsqu'on prend tous ses ternies positivement, elle Vest encore lorsque, à partir d'un certain rang, on rend à ses différents termes les signes positifs ou négatifs quils ont réellement.
Il est clair que, lorsqu'une série devient divergente lorsqu'on prend tous ses termes positivement, on ne peut plus rien affirmer sur sa véritable nature.
368. Il est souvent difiicile de reconnaître que la somme d'un nombre quelconque de termes de la série considérée, supposée convergente, tombe, à partir d'un certain rang, audessous de toute quantité donnée.
Il faut alors, pour se rendre compte de la nature de la série, recourir à des théorèmes spéciaux, plus aisés à appliquer que le théorème général (365).
De c. — Cours. III. 20
3o6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Nous allons indiquer, parmi ces théorèmes, les plus simples et les plus usuels, en éludianl d'aboid les séries dont les termes ont tous le même signe. On peut alors, évidemment, les regarder comme tous positifs, quitte à donner ensuite le signe moins à la somme de la série supposée convergente, si tous ses termes sont en réalité négatifs.
ALGÈBUE SUrÉlUEURE. 3oT
