TT , 1 I I

arc tang i = - = arc tang - -4- arc tang — v- arc tane —r

-4- arc tang h ... -H arc lans;

359. On peut ramener, dans certains cas, la série proposée à la forme affectée par l'identité (1) (357), et la sommer alors immédiatement.

Soit la série

{X -\- Il — l) {X -\- II)

ALGÈBRK SUPÉRIEURE.

On a évidemment, quel que soit x,

(x -\- n — i){x-^/i) X -\- Il — 1 X -^ n

En ajoutant tontes ces identités membre à membre, on trouve évidemment

X ■z-(:t'-Hi) (jc-1- 1 )(.r-h 2) (^-t-2)(x + 3)

360. On peut aussi, dans certains cas, obtenir la somme d'une série en la décomposant, par le partage approprié de chacun de ses termes, en séries plus simples ayant des sommes connues.

Posons

S = I -+- 2j:-1- Zx'^-\- \x'^-\-. . .+ rtjr«-i-l-(« -)- i)x«-t-. . .,

X étant un nombre positif ou négatif, plus petit que i en valeur absolue. On peut mettre la relation précédente sous la forme

1+ ar«-+-

i-hx« +

La première ligne de la valeur de S représente •

(356); la deuxième

ligne, en mettant x en facteur commun, représente — '—; la troisième

ligne, en mettant x^ en facteur commun, représente

(rt -+■ i)'""^ ligne, en mettant x« en facteur commun, représente

> etc.; la

3oO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

On a donc finalement (336)

{i-xf

361. Ces exemples suffisent pour montrer qu'il existe un nombre, pour ainsi dire indéfini, de développements que l'on peut effectuer ou de séries convergentes que l'on peut sommer par des procédés simples.

On en trouvera de très intéressants dans le beau Traité de Calcul dijjérentiel et de Calcul intégral de M. J. Bertrand.

Premier caractère incomplet de convergence. — Exemple de série divergente : série harmonique.

362. I. Pour qu'une série soit convergente, il faut que, à partir d'un certain rang n, la valeur de ses termes tende vers zéro autant qu'on veut, à mesure que n augmente.

Considérons, en effet, la série supposée convergente

S :=«oH-«l-T- «2+ «3-+-- • •+ "«-1+ "«+ ««+1 +

Si n est suffisamment grand, nous pourrons, par définition (332), poser à la fois

S = limS„ et S:=limS„+i.

Il en résultera (3il)

limS„+, — limS„= lim(S„+i— S„) = o ou lim?/„=o.

Pour qu'une série soit convergente, il est donc nécessaire que ses termes aient pour limite zéro, puisqu'il en est ainsi pour toute série supposée convergente; mais cette condition nécessaire nest pas suffisante, comme nous allons l'établir pour une série remarquable, àxie série harmonique, et comme on peut l'établir pour un grand nombre d'autres séries.