III. Lorsque , dans une série, le rapport ""*"' tend
vers une limite déterminée l, à mesure qu'on fait croître n indéfiniment, la série est convergente ou divergente, suivant que cette limite l est plus petite ou plus grande que i.
En effet, dans le premier cas, on peut choisir entre / et i un
nombre fixe k, alors <i, au-dessous duquel le rapport — ^^
tombera nécessairement en tendant vers sa limite / : la série est donc convergente (371).
3lO \LGÈBRE SCPÉRIEXJRE.
Dans le second cas, on peut clioisir enlre i et / un nombre
fixe k, alors >i, au-dessus duquel le rapport — ^^ tombera
nécessairement en tendant vers sa limite l : la série est donc divergente (372).
374. La limite l peut être égale à l'unité. Il y a alors deux cas à distinguer :
1° Le rapport — ^-^ peut s'approcbcr de sa limite ^ = i, en
lui restant toujours supérieur. Les termes de la série vont alors constamment en croissant, à partir d'un certain rang, el la série est nécessairement divergente (352, 3G2).
2» Le rapport —^^ peut s'approcber de sa limite l^=i\, en
lui restant toujours inférieur. On est alors dans le doute; car les termes de la série vont constamment en diminuant à partir d'un certain rang, mais leur somme va constamment en augmentant, et l'on ne sait pas d'avance si cet accroissement se produit sans limite.
Nous énoncerons donc ce quatrième théorème :
375. IV. Si, à partir d' un certain rang et n croissant indéfiniment, le rapport ""^' tend vers une limite égale à l'unité,
Ufj
la série est divergente lorsque ce rapport finit par rester constamment supérieur à sa limite; il y a doute, c' est-à-dire que la série peut être convergente ou divergente, lorsque ce rapport finit par rester constamment inférieur à sa limite.
Les théorèmes I, II, III, IV constituent, dans leur ensemble, l'une des propositions les plus utiles et les plus fréquemment employées pour l'étude des séries.
cas ou la série est ordonnée suivant les puissances d'une variable.
376. La série considérée peut se trouver ordonnée suivant les puissances entières et croissantes d'une variable x. La proposition précédente est encore applicable. Seulement, la variable x entre alors nécessairement dans l'expression du rapport dont on a à chercher la limite; et, par suite, la con-
ALGÈBRE SUPÉIllEUUE. OlI
vergence ou la divergence de la série dépend, en général, des valeurs spéciales attribuées à cette variable. Soit, par exemple, la série
AqH- A,a: -f- A2.r-+ A3.r3 + . . .
On a, dans ce cas,
/=^lim^^^^^— lim " ,^ ,=lim
lin ^n—\^ A„i
c'est-à-dire, en désignant par X la limite du rapport 7— ^ quand
n croît indéfiniment,
La série sera donc convergente pour A^ < i, ou tant qu'on aura a; <z ^; elle sera divergente pour X^ > i, ou tant qu'on
aura j: >> ^ (373).
La série restera ainsi convergente pour toutes les valeurs de œ comprises entre -h ^ et — y; car une série, qui est con-
vergente lorsque tous les termes sont positifs, l'est encore lorsqu'on en prend un certain nombre négativement (3G7).
Il pourra y avoir doute, si l'on a A:r=i ou ^ = ± =-' Néanmoins, si, à partir d'un certain rang, " reste toujours supé-
rieur à A, — ^^ restera en même temps supérieur à >^=: i, et la série sera divergente pour j? =4- ^ (375).
La remarque que nous venons de faire, relativement aux séries ordonnées, subsiste aussi pour les théorèmes analogues aux précédents, que nous avons encore à démontrer.
Applications des théorèmes I, II, III, IV.
377. Nous nous proposons de vérifier, à l'aide de ces théorèmes, la convergence ou la divergence de quelques
séries. Nous les rapporterons toujours à la série type
«0-1- «iH- «2 -f- «3 -+- • • ■ -+- 11,1-1+ "«+ "« + 1-^
1° Soit la série
a ^ icâ -^ 1 a^ -^ \ a'* -\- . . . -^ na" -h- (n -\- i)rt"+i +. . .,
OÙ a est un nombre positif (ji;elconque.
Elle est évidemment divergente pour a = i ou pour «> i (362), el il ne peut y avoir de difficulté que pour « < i.
On a ici (373, 37o)
l = lini = lim -.
= hm a = lim
Un (n-hJ)a't-*-'^ n -h \ i
Pour « = 00, il vient 1 = a.
Pour a <ii, la série est donc convergente.
La règle que nous appliquons indique aussi qu'elle est divergente pour rt > I et pour a = i, comme nous venons de le dire. Dans cette dernière hypothèse, il ne peut y avoir doute, parce que la
fraction étant toujours plas grande que i, le rapport ""^^ reste
constamment supérieur à sa limite i.
2° Soit la série
III I I r
