n — i)n ft(n -\-i) ' {n-\- i){n-h

On a ici

Un+i ( /z -4- 2 ) f /^ -H 3 )

Un ~ I

{fi -i- I j (« -)- 2) n

dont la limite, pour « = «s, est i.

Comme — '—^r reste constamment inférieur à i, il y a doute (373). Mais, en se servant du procédé général indiqué au n'SoO, on peut poser

et, par suite, la série donnée deviendra

V 2/"*'V2 3/^^3 ^/'^'"^[n n-^ij

Elle a donc une somme égale à i el elle est convergente, comme nous ] avons déjà trouvé (338, -i").

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3l3

3' Soit la série remarquable

4IJ- «H- («-Hi);j-

sur laquelle nous reviendrons plus loin, et où [x représente un nombre positif quelconque.

Si l'on suppose \j. = i, on retrouve la série harmonique (36:3, 364) qui est divergente.

Si l'on suppose [i. < i, les dénominateurs des termes de la série devenant moindres que ceux des termes correspondants de la série harmonique, tandis que les numérateurs ne changent pas, les termes de la série surpassent ceux de la série harmonique et, par suite, pour [i.< i, on a encore une série divergente (37(J).

Notre recherche est ainsi bornée au cas de [jl > i.

On a alors

(//-hl)!^

Pour rt = oo, ce rapport a évidemment i pour limite; mais, comme il demeure constamment inférieur à l'unité avant d'atteindre sa limite, nous restons dans le doute (373).

Nous allons opérer comme il suit, pour établir la convergence de la série. ,

En laissant de côté son premier terme i, nous allons grouper ses termes en en prenant deux, puis quatre, puis huit, puis seize, ..., en doublant toujours indéfiniment.

En remarquant que le premier terme de chaque groupe est le plus grand, on pourra écrire les inégalités suivantes :

Nous supposons que la dernière inégalité posée correspond au pitrae gi-^jiipCj de sorte que le dénominateur de la première fraction du

3l4 ALGÈBRE SLPi'niEURE.

premier membre y est bien (ip)\>- et, le dénominateur de la dernière, (2P+1 — i)iJ-. De plus, le nombre des termes du premier membre est égal à (aP+i — i — 2P) -4- i, c'est-à-dire à ip+^ — ip ou à ip.

En ajoutant membre à membre toutes les inégalités précédentes, on voit que, sauf le premier terme i, la somme des termes de la série est inférieure à la somme des termes de la progression par quotient

qui a pour raison -j^j^j' c'est-à-dire qui est décroissante et illimitée. La

somme des termes de la série ne peut donc pas croître indéfiniment, et elle est bien convergente (369) lorsque [i. est > 1.

4° Soit la série ordonnée

X x^ .r^ x'* xf^ .r"+i

i 'i. û 4 a IL -^ \

11 est clair que la série est divergente pour ,r = i ou pour j;>i, puisqu'on retrouve alors la série harmonique ou une série dont les termes sont plus grands que les termes correspondants de la série harmonique.

Il reste donc à considérer le cas de .^ < i, en valeur absolue (376).

On a ici

Un-^s. n -\- % 7? -+- I n

Un .r"+i n-^- 1 1 '

La limite de ce rapport, pour n — x, est x. La série est donc convergente pour .r < I en valeur absolue.

La série restera, par conséquent, convergente quand on fera varier X depuis — I jusqu'à -4- i, en excluant -r- i. Nous verrons plus tard que, pour .r = — I, elle est encore convergente.

Admettons que l'on conserve dans la série, supposée convergente, les

a premiers termes. Le premier terme négligé sera -^ — ; — ? et l'on aura (3o2)

c'est-à-dire ou (3o6)

^ra-^l x'^'^- x"-'*'^ R«= ■ 1 ■ ' — r

/^ H- 1 I — X puisque x est moindre que l'unité.

ALGLDRE SUPÉRIEURE. 3l5

5° Soit, enfin, la .érie ordonnée

On a. dans ce cas, évidemment,

Un+\ 2/i — I in

Pour « = 00, la limite de ce rapport est x.

La série est donc divergente peur j; > i et, convergente, pour x < i en valeur absolue, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -1- 1.

Il y a doute pour .r = i, parce que le rapport '''^^ reste alors con-

stamment inférieur à sa limite (37d).

Pour lever ce doute, comparons la série proposée, en y faisant x = i, à la série harmonique (3G3)

IH h;r-+-7-|---i-...-l i 1-

Pour passer du /i"'™" terme de la série harmonique au suivant, il faut

multiplier - par

Pour passer du «'^"^ terme de la série proposée, qui est

... , , . , . "in — I

au suivant, il faut le multiplier par -•

Comme les deux premiers termes des deux séries sont les mémos, il

suffit alors de comparer les deux multiplicateurs. Or on a évidemment,

quel que soit le rang n,

in — I n

puisque cette inégalité revient à « > i.

Ainsi, à partir du troisième terme, les termes de la série proposée sont constamment supérieurs aux termes correspondants de la série harmonique, et elle est, par suite, divergente (370).

ALGEBRE SUPERIEURE.

Théorèmes V, VI, VII, VIII.

378. V. Si, à partir cran certain rang, Vexpression u'!^^ ou yun ^st constamment moindre qu'un nombre fixe k plus petit que I, la série est convergente ; elle est divergente si cette expression est constamment supérieure à un nombre fixe k plus grand que i .

En eifel, on a, dans la première hypothèse,

\fû~n < k OU Un < k".

"^V/««+-i < f^ OU Un+i<k"-

II en résulte que, à partir de u^, les termes successifs de la série considérée sont inférieurs aux termes de la progression par quotient, décroissante et illimitée,

('elle série est donc convergente (370).

La limite de l'erreur commise en s'arrètant aux n premiers termes de la série est alors inférieure à

i — k Dans la seconde hypothèse, on a

'(/«„ > A' ou Un > A",

"V"«+i > ^" ou «„+,> A«+', "^V/«„+2 > A' ou M„+2>A-"+-,

Il en résulte que, à partir de «„, les termes successifs de la série considérée sont supérieurs aux termes de la progression par quotient, croissante et illimitée,

Cette série est donc divergente (370).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Sl"