O0. Si l'on s'arrête au terme

ou si l'on ne con-

serve que les (n-i-i) premiers termes de la série, l'erreur commise ou le reste R„^-i a pour expression

ïî«^i"

j .2.0. ..n On a, par suite,

n-hi {n-hiy- {n-hif

ou, en supposant

< I, c'est-à-dire « — i — j; > o,

on

406. Il est facile de trouver, pour une valeur déterminée de X, quel est le plus grand terme de la série.

ALGÈBRE SUPÉRIEUIIE. 345

Supposons que celte valeur de x soit comprise entre les deux entiers consécutifs cj et «7 + 1. Le plus grand terme de la série sera

car, en décomposant ce terme en fadeurs

on voit que, tant qu'ils sont plus grands que i, leur produis va en augmentant à mesure qu'on en pi'end davantage, jusqu'à ce qu'on parvienne au maximum qui est le terme indiqué. Au delà et pour les termes suivants de la série, les

facteurs > -, •••■> étant moindres que l'unité, il v

aurait, au contraire, diminution du produit.

407. En faisant dans la série qu'on vient de considérer et dans les résultats obtenus ^ = 1, on retrouve la série e, ainsi que l'expression de l'erreur commise lorsqu'on s'arrête dans cette série à un certain terme (402).

Limite de [\-\ 1 quand m, entier et positif, croît indéfiniment.

408. Le nombre e représente aussi la limite d'une autre expression remarquable que nous allons étudier à son tour.

Désignons par m un nombre entier et positif, croissant indéfiniment, et cherchons la limite de l'expression

ni

quand m tend vers l'infini.

La quantité i H tend alors vers i; mais, en même temps,

le nombre des facteurs égaux à i h croît indéfiniment. On

ne peut donc pas appliquer le théorème connu (343) et dire

que la limite du produit est égale au produit des limites des

facteurs ou à l'unité; car ce théorème exige expressément

que le nombre des facteurs considérés soity?/H'.

ALGEBRE SUPERIEURE.

Nous devons donc chercher directement la Timite de l'expression indiquée qui, pour m^oo, se présente sous la forme indéterminée i''.