Nous établirons d'abord un lemme préliminaire

Si les quantités a, 3, y, ô, . . . sont des fractions proprement dites, on a la double inégalité

La première inégalité est évidente, le produit d'un nomlire quelconque de fractions étant toujours inférieur à i {Arithm., 206).

Quant à la seconde inégalité, considérons d'abord les deux premiers facteurs. On a

Si l'on néglige le terme positif a,3 dans le second membre de cette égalité, il en résulte

Multiplions les deux membres de cette inégalité par le troisième fadeur i — -/, ce qui est permis {Alg. élém., 215); nous aurons

c'est-à-dire

En négligeant dans le second memljre de celte inégalité'le larme positif (a + 3)y, on peut poser, a fortiori,

On continuera évidemment de la même manière et l'on arrivera à un résultat analogue, quel que soit le nombre des facteurs.

410. 11 résulte immédiatement du lemme qu'on vient de démontrer que le produit

a pour limite l'unité lorsque, l'entier n étant quelconque, mais constant et fini, l'entier m croît indéfiniment. En ellet, on a (i09), pourvu que m surpasse n — i,

c'esl-à-dire (274)

ni m m

Le produit P est ainsi compris enire l'unité et une quantité qui a l'unité pour limite lorsfju'on fait croître /?* indéfinimenl,

,, . {n l) rt . o • • ,nnn

puisque I expression — est un inhniment petit (ddo).

' ^ im

On a donc bien, pour m ■=: ce,

limP=z j.

411. Revenons maintenant à l'expression proposée. Supposons d'abord i?i très grand, mais fini, et développons

d'après la formule du binôme (255). Nous aurons

m {m — [) I m{/n — i){ni — 2) i