DIFFÉRENTE DE ZÉRO
ol8. Désignons par y. l'infiniment petit principal, et par p un infiniment petit du n'^""^ ordre. On aura à la fois, par définition,
lim a := G, lim p = o.
Représentons par k une quantité finie quelconque, différente de zéro, et par w une quantité qui tend vers zéro en même temps que a. Nous aurons, par définition (olG),
lim ^ r=. k ou -^ =: /c -h (à, a'' x"
c'est-à-dire
Telle est la forme générale de tout infiniment petit du /i'^"«
ordre.
Si /i::=i, on a
p est alors du premier ordre ou du même ordre (317) que l'infiniment petit principal.
319. On peut avoir à considérer des infiniment petits dont le rapport à une puissance fractionnaire de l'infiniment principal a une limite finie. Leur ordre devient, dans ce cas, fractionnai/e.
Si l'on a, par exemple,
p est un infiniment petit de l'ordre -•
Comparaison des infiniment petits d'ordres différents.
520. Il est évident que, de deux infiniment petits d'ordres différents, celui de l'ordre le plus élevé est infiniment petit par rapport à l'autre.
Soient les deux infiniment petits p et pi rapportés à l'infiniment petit principal a et, «, étant plus grand que n, supposons qu'on ait (518)
p = a"(A'-+co), p,= a"i(Ai+ wi);
on en déduit
p a" ( A ■ + oj ) A + M
La limite de ce rapport est évidemment zéro, puisque ki et k sont des quantités finies difTérentes de zéro, et que toute puissance positive de a, dont l'exposant est un nombre fini, tend vers zéro en même temps que a (3V7).
Il résulte de là que p, finit par devenir un infiniment petit relativement à p, de manière à pouvoir être négligé devant lui dans les cas appropriés.
Opérations sur les infiniment petits.
521. Soient des infiniment petits p, pi, p,, ... d'ordres croissa/its n, n^, «,, •••, rapportés à l'infiniment petit principal a.
1° La somme de plusieurs infiniment petits est du même ordre que celui dont l'ordre est le moins élevé.
On a, en effet,
p + piH- P2-4-. . . p p, p.
Et le premier rapport du second membre tend vers une limite finie (516), tandis que tous les autres rapports tendent vers zéro (520); ce qui justifie l'énoncé.
On peut dire, de môme, que la différence de deux infiniment petits est du même ordre que celui dont l'ordre est le moins élevé.
426 ALGÈBRE SUPÉRIECRE.
2" Quand on multiplie deux infiniment petits, l'ordre du produit est la somme des ordres des facteurs.
On a, en effet, régalilé
p p, pp^
Chaque facteur du premier membre tendant vers une limite finie (516), il en est de même du produit indiqué dans le second membre (3i3), et l'énoncé est justifié (516).
3" Quand on divise deux infiniment petits, l'ordre du quotient est la différence des ordres du dividende et du diviseur.
On a, en effet, l'égalité
Pi
a"i Cf.'
Chaque rapport du premier membre tendant vers une limite finie, il en est de même du quotient indiqué dans le second membre (3ii), et l'énoncé est justifié (516).
4° Quand on élève un infiniment petit à une puissance, l'ordre de cette puissance est le produit de l'ordre de l' infiniment petit par l'exposant de la puissance.
Soit l'infiniment petit p, qui est d'ordre n. Nous aurons, en désignant par p l'exposant de la puissance, l'égalité
pp a'^p-
comme le premier memjjre tend vers une limite finie, quel que soit y?, pourvu qu'il ne soit pas infini (3i7), il en est de même du second membre; ce qui vérifie l'énoncé (516).
522. Lorsqu'on remplace l'infiniment principal d'abord choisi par un autre infiniment petit du même ordre, tous les autres infiniment petits engagés dans la question conservent leur ordre.
Soient p un certain infiniment petit du n'""'' ordre, et (3 l'infiniment petit du même ordre que a ou du premier ordre
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ^2'j
(518), substitué à rinfiniinenl petit piiiicipal a. On a, identiquement,
Chaque facteur du second membre tendant, évidemment, vers une limite finie (516, 517), il en est de même du premier membre (343), et o, comparé à a ou à [3, reste toujours de l'ordre n.
523. Il n'est pas inutile de remarquer qu'un infiniment petit peut être d'un ordre indéterminé. C'est ce qui arrivera lorsque, en comparant deux infiniment petits a et (3, aucune puissance de l'un d'eux pris comme infiniment petit principal ne pourra être du même ordre que l'autre (516, 517). Le
rapport „ ne peut, dans ce cas, présenter une limite finie,
différente de zéro, puisque les deux infiniment petits seraient alors du même ordre (517); et tout ce qu'on peut dire, c'est que, si ce même rapport a une limite nulle ou infinie, l'ordre de a est supérieur ou inférieur à celui de (3 (5*20);
Exemples d'infiniment petits d'ordres différents.
524, La Géométrie et la Trigonométrie fournissent de nombreux exemples d'infiniment petits d'ordres différents pouvant coexister dans une même question.
L'aire d'un rectangle, dont les côtés sont des infiniment petits du premier ordre, est un infiniment petit du deuxième ordre (521, ■2°).
Si l'arc de cercle infiniment petit ce est choisi comme infiniment petit principal, sina; et tang^ sont des infiniment petits du premier ordre (517), puisque l'on a alors (7^/7gon,, 104)
,. sin^ ,. tang.a?
lim =^ hm - = I.
La différence i — cos:r est, dans la même hypothèse, un infiniment petit du deuxième ordre (516); car on a, d'une manière générale {Trigon., 66),
sin- —
. ç,X I — COS.37 2
I — cosj:' = 2 sin-— ou = 2 r —
c'est-à-dire
ALGEBRE SUPERIEURE.
/ sin —
