I — CO^.V ,. I / 2 \ I

lim :, = lim - —

jf- 2 1^/2

Enfin la différence x — sin^r est, à son tour, un infiniment petit du troisième ordre (516); car on a, d'une manière générale {Trigon,, 105),

o <ix — sin^r <

d'où

sinj" I

et le rapport ^ — -, étant toujours compris entre o et -->

tend nécessairement vers une limite qui ne peut surpasser 7-

Nous verrons plus tord que cette limite est exactement ^.

On pourrait multiplier ces exemples élémentaires. Nous ne nous y arrêterons pas ici; mais nous considérerons encore la question suivante, dont les résultats sont souvent utilisés.

525. Soit un triangle rectangle ABC {fig- 3), dans lequel l'hypoténuse BC et l'angle aigu C sont des infiniment petits de même ordre.

Fig. 3.

Désignons par a l'hypoténuse, par j3 et y les deux côtés de l'angle droit, et prenons a pour infiniment petit principal. Cherchons l'ordre des autres côtés du triangle, nécessairement infiniment petits.

On a {Trigon., 141)

|3=acosC, -=:cosC, 11m- =:l.

Le côlé (3 est donc un infiniment petit du premier ordre (517).

On a, d'autre part,

= Cf. sin C.

L'angle C étant du premier ordre, il en est de même de son sinus (52i). Par suite, y, étant le produit de deux infiniment petits du premier ordre, est un infiniment petit du deuxième ordre (521, 2°).

Réciproquement, la relation

sin G = -

Cf.

prouve que si, dans un triangle rectangle infiniment petit, un côté y est du deuxième ordre tandis que l'hypoténuse a est du premier, l'angle C opposé au côté y est du premier ordre (521, 3°).

Si l'on abaisse la perpendiculaire AD sur l'hypoténuse, on a

BD = ycosB = ysinC, CD = [3cosC, ADi=(3sinC.

Par suite, BD est un infiniment petit du troisième ordre; CD est du premier ordre et AD, du deuxième ordre.

Supposons, maintenant, que C restant infiniment petit du premier ordre, l'hypoténuse a ail une longueur finie quelconque. La relation

(3 = a cosC

montre que (3, projection de a sur (3, est alors une quantité finie; mais la diirérence

a — (3 = a(i — cosC) -— 2asin-- (524)

est un infiniment petit du deuxième ordre, puisque sin - est

du premier ordre.

Il en résulte que, lorsqu'on projette une droite finie sur une autre droite qui fait avec elle un angle infnunent petit, la di[Jérence entre la droite projetée et sa projection est un infiniment petit du deuxième ordre, relativement à l'angle considéré comme infiniment petit principal.

Ce résultat est souvent invoqué en Mécanique.

Le triangle rectangle infiniment petit considéré plus haut conduit encore à une conséquence qu'il importe de signaler.

Sur une courbe AB {fig. 4), prenons deux points infiniment voisins M et M', et menons la tangente MT au point M. Si l'on

43o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

abaisse la perpendiculaire M'P sur MT, on a M'P = MM'sinM'MT.

Or, d'après la définition de la tangente {Géom., 96), l'angle M'MT est un infiniment petit, et il en résulte que la distance M'P est à son tour un infiniment petit d'ordre supérieur.

Fig. 4.

Ainsi, la distance de l'une des extrémités d'un arc infiniment petit à la tangente menée par l'autre extrémité est un infiniment petit d'ordre supérieur, quand on prend la distance des deux extrémités pour infiniment petit principal.

Condition de substitution des infiniment petits dans des limites de rapports ou de sommes.

526. Premier principe. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites reste la même, quand on leur substitue d'autres quantités dont les rapports ai'ec les premières ont respectiiement l'unité pour limite.

D'après l'énoncé môme, les infiniment petits ainsi considérés sont deux à deux du même ordre (517).

Soient les deux couples d'infiniment petits a et aj, [3 et pi, tels qu'on ait

Imiô^ij fiiïi75-=i;

P Pi

il faut prouver qu'on a, nécessairement,

lim — = lim^^'

y-i pi

C'est ce qui est, pour ainsi dire, évident; car (3ii) la relation

ALGÈBRE SUPÉraEURE. 4^1

lim ~ =1 revient (3H) à r

"lia , ,. .. «

I ou a lima= Iimp.

lirii[3

De même, la relation lim ^ = i revient à

lima, , ,. ,. r,

lun Pi

On a donc, en divisant membre à membre,

lima lim 3 , . ,. a ,. 3