A = MN, Â: = M'N

Cela posé, le triangle rectangle MNM' donne (Trigon., 142)

11^,, TXT M'N k tangM'MN=^ = ^^.

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, h diminue et tend indéfiniment vers zéro. En même temps, la sécante M'MS tend indéfiniment vers la tangente IMT au point M, et l'angle M'MN vers l'angle IMN, qui représente celui que fait celle tangente avec l'axe 0,37. Les limites de deux quantités toujours égales étant égales (334), on a donc

tangIMN = lim langM'MN :

k Ainsi, la limite de j ou f {x) (o3i) se trouve représentée par

la tangente trigonométrique de Vangle que fait la tangente à la courbe AMB, au point M dont l'abscisse est x, avec l'axe Ox, tangente trigonométrique, en général, parfaitement déterminée.

Si l'on peut calculer la limite de j à l'aide de l'équation de

la courbe, la tangente trigonométrique de l'angle I.MN sera connue, et la construction de la tangente au point M s'en déduira immédiatement.

Réciproquement, si, la courbe AMB étant construite, on peut lui mener une tangente au point M, la tangente trigonométrique de l'angle IMN fera connaître la valeur de la dérivée de la fonction correspondante y =f{x), pour x=^ OP.

Il y a donc identité entre la recherche des dérivées des fonctions d'une seule variable et celle des tangentes aux courbes planes qui les représentent, et les dérivées existent comme les tangentes elles-mêmes.

Ajoutons que la limite du rapport -j ne dépend nullement

de h, mais seulement de la valeur attribuée à x. La dérivée de f{x) sera donc, en général, une nouvelle fonction de x (o3i).