Admettons à présent qu'on fasse tendre Ar vers zéro
La relation (2) (5io) montre que l'accroissement infiniment petit d'une fonction continue quelconque peut être regardé comme composé de deux parties
f {œ) ^.x et a A^.
Comme f'{oc) est supposée avoir une valeur finie différente de zéro et bien déterminée, si l'on prend A^ comme infiniment principal, la première partie est un infiniment petit du premier ordre et la deuxième partie est un infiniment petit d'ordre supérieur (521, 2°).
Or, d'après le principe fondamental de la méthode infinitésimale (330), les limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits ne sont pas modifiées lorsqu'on remplace ces infiniment petits par d'autres qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes. Il en résulte que, toutes les fois que A/ entrera dans un calcul comme terme d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits dont on cherche la limite, on aura le droit de le remplacer par
c'est-à-dire de lui substituer le produit de la dérivée de la fonction y par l'accroissement infiniment petit de la variable indépendante.
547. On donne le nom de dijjérentielles à ces quantités plus simples que l'on peut substituer aux différences infiniment petites des fonctions.
Elles sont évidemment plus simples, puisqu'on néglige dans ces différences, sans aucun inconvénient relalivement à la recherche que l'on poursuit, le terme a^x, en général extrêmement compliqué. Et ce sont, en réalité, les plus simples possibles, puisqu'elles sont le produit du facteur A^ qu'on ne peut évidemment supprimer par une fonction oîi ce facteur n'entre pas.
Les différentielles, quantités infiniment petites substituées
aux différences infiniment petites des fonctions dans les cas indif|ués, sont désignées par la caractéristique d, substituée elle-même à la caractéristique A.
On a ainsi
(3) dy = f\œ)ùiœ
ou
Par conséquent, le rapport de la différentielle dy à Vaccroissement Ax de la variable est égala la dérivée de la fonction y ^= f{x) ou à la limite du rapport de la différence Ay de la fonction à ce même accroissement Ax.
C'est ainsi que la recherche des diffé"'entielles et des dérivées ne forme qu'une seule et même question.
54-8. Supposons que la fonction/ soil la variable .r ellemême, c'est-à-dire qu'on ait
ou la plus simple de toutes les fonctions. On aura alors constamment
Ar = Aj;, f'{x)=z}, dy = Ax ( oi7 ) .
La diffcrentielle de y ou celle de x est donc, dans ce cas, identique à Ax, et l'on a alors
dx =z Ax.
[Si
l'on avait
on aurait constamment
Ay = — Ax, f'{x)=z—i, dy =■ — Ax,
et la diflérentielle de y serait identique à — Ax].
Comme il est naturel d'employer une seule caractéristique quand cela est possible, nous conviendrons, toutes les fois que nous aurons à prendre la différentielle d'une fonction de X, de représenter par dx l'accroissement arbitraire (mais inQnimcnt petit) de x. Mais, lorsqu'il s'agira des accroisse-
448 ALGÈBRE SUPÉPilEURE.
ments exacts on des différences des fonctions désignées par la caractéristique A, nous représenterons par Lx l'accroissement de X, qui pourra être alors fini ou infiniment petit.
oiO. D'après cette convention, on aura {?, bis) dy = f'{x)dx
dv Et l'on voit que l'expression -j- peut être considérée indifféremment, soit comme le quotient de dy par dx, soit comme un symbole représentant (oio) la limite du rapport ^r— •
Sous ce dernier point de vue, la formule (3 bis) peut encore s'écrire
dv ,
La dérivée /'(^) étant, d'après la formule (3 bis), le quotient de la différentielle de la fonction par la différentielle de la variable, on lui a souvent donné le nom de rapport ou de coejficient différentiel û.Çi la fonction.
D'après cette même formule, la différentielle de la fonction étant le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable, qui ne peut pas être nulle, les théorèmes généraux relatifs aux dérivées, qu'on a démontrés aux n°^ 538, o40, 543, s'étendent immédiatement aux différentielles.
550. La différentielle est susceptible, comme la dérivée (535), d'une représentation géométrique.
Reprenons la fig. 5 (p. 439), et soit la courbe AMB qui représente la fonction j:=/(jr) rapportée aux deux axes Oo? et Oj. On a (535)
tangLMN= lim y = lim -^ z=/'{x).
'^ h Ax -^ '
On a aussi
IN = MN tanglMN = f'{x) ^x — dy (5i7).
ALGÈBRE SUPÉRIEtRE. 449
Nous voyons par là que la différence de la fonction, Ay = k, étant représentée par M'N, sa différentielle dy est représentée par IN.
Ainsi, remplacer la différence par la différentielle revient, lorsqu'on cherche quel est l'accroissement de l'ordonnée pour un accroissement infiniment petit de l'abscisse en partant du point M, à substituer, dans une étendue infiniment petite, à la courbe elle-même, sa tangente (525).
551. L'avantage que peut présenter l'emploi des différenlielles sur celui des dérivées, c'est que, dans la formule (3 his) (5i9), dy et dx figurent absolument de la même manière.
y étant une fonction de x, l'une des différentielles dy et dx est arbitraire, et leur rapport est égal à celui des accroissements infiniment petits que peuvent prendre simultanément les deux variables.
Or, d'après ce que nous avons dit des fonctions inverses (44-'*), rien n'oblige de prendre pour variable indépendante Tune des deux variables plutôt que l'autre, quand il s'agit des différentielles, tandis que l'emploi des dérivées exige nécessairement qu'on ait fait un choix, la dérivée n'ayant un sens déterminé que lorsqu'on sait par rapport à quelle variable on la prend.
Si l'on part de la relation
dy = f'{^) dx et si c'est x qui est la variable dépendante, si c'est x qui est
De C. — Cours. III. 2y
4 0O ALCxEBRE SUPERIEUKE.
regardée comme une fonction de y, on en déduit immédiate ment
C'est dy qui reçoit alors une valeur arbitraire infiniment petite, et d.r s'ensuit.
On comprendra tout à fait l'importance de celte remarque, lorsque nous parlerons plus loin des dérivées et des différentielles des fonctions inverses.
552. Nous terminerons ces notions fondamentales en ol)servanl qu'on peut avoir à considérer, dans une même question, une variable indépendante x et plusieurs fonctions y, z, u, V, ... de cette variable.
Représentons par Aj, As, At/, Ac, . . ., les accroissements pris par ces fonctions ou leurs différences pour un même accroissement ou une même différence A^ ou dx de x. Leui's dijjérenlielles dy, dz, du, dv, . . ., seront toutes dans des rapports constants avec dx et, par conséquent, les unes avec les autres, quand dx tendra vers zéro (54-9). Ces rapports constants sont d'ailleurs les limites des rapports des ditïérences correspondantes, qui ne diffèrent alors des différentielles que de quantités infiniment petites par rapport à ellesmêmes (oi7).
On a, par exemple,
(I) ^,^lini^=Dv« (53i),
dy Aj
du I , , . . , < Il
et -5- est la dérivée de u par rapport a y, quelle que soit dy
d'ailleurs la variable commune à laquelle on ail rapporté les
différentielles du et dy.
Si l'on a u =zf{x) et j =: F(.r), on a aussi (549)
du =/' {x) dx, dy ^zY' {x) dx, c'est-à-dire (i)
On peut donc énoncer celte proposition :
La dérivée d'une variable u par rapport à une autre va-
ALGÈBRE SUPÉraEURE. 4^1
fiable y est égale au rapport des dérivées de u et de y prises relativement à une même variable quelconque x, dont elles sont regardées comme dépendantes.
553. Nous engageons !e lecteur à bien s'assimiler avant tout les généralités qui précèdent. Ce n'est qu'à celte condition qu'il pourra étudier avec fruit les Chapitres qui suivent.
Nous allons, dans ces Chapitres, passer à la recherche pratique des dérivées et des dilîtirentielles, que les détails dans lesquels nous venons d'entrer nous permettront de ne plus séparer.
432 ALGÈBRE SLPÉRIECRE.
