CLASSEMENT DES FONCTIONS
ooi. Trouver la différentielle d'une fonction, c'est exécuter l'opération désignée sous le nom de dijjérentiation.
Il y a une infinité de fonctions; mais il en existe un nombre très limité auxquelles on donne le nom de fonctions simples, et c'est à ces fonctions que toutes les autres se trouvent ramenées au point de vue de leur différentiation.
555. Les fonctions simples correspondent aux opérations connues jusqu'à présent.
Elles sont au nombre de dix, du moins lorsqu'on représente chacune d'elles par son type le plus simple ou par un seul type, et elles se partagent en fonctions algébriques et en fonctions transcendantes.
Les fonctions algébriques simples correspondent aux six opérations arithmétiques : addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances et extraction des racines.
Les fonctions transcendantes simples, dont l'emploi exige la construction de Tables calculées d'avance, sont les fonctions exponentielle et logarithmique, et les fonctions étudiées en Trigonométrie, c'est-à-dire les fonctions trigonomélriques proprement dites ou circulaires directes et les fonctions circulaires inverses.
556. Les dix fonctions simples se partagent naturellement en cinq groupes, chaque groupe contenant une opération directe et l'opération inverse.
557. D'après cela, nous présenterons comme il suit le Tableau des dix fonctions simples, en désignant par x la va-
riable indépendante, par y la fonction, par a et par m des constantes.
TABLEAU d::s dix fonctions simples.
Fonctions algébriques.
( Somme y ^=a-\- x
i«'groupe. r^..„, -'
( Dilierence y = a — x
I Produit y =: ax Quotient )' ^ —
I Puissance y := x'" Racine y — '['x {m, nombre entier et positif.)
Fonctions transcendantes.
/ Fonction exponentielle y=:a^, y=:e^
4* groupe. 1 Fonction logarithmique.. . . y = \oga^^ y=^Lx ( (a, nombre positif.)
( Fonction circulaire directe. r = sinjr 5^ ffroupe. {
( Fonction circulaire inverse. j= arc sin^ ( T^/i^o^., H.)
558. Pour les fonctions trigonométriques, directes ou inverses, nous n'avons indiqué qu'un seul type; et il est clair qu'on pourrait regarder aussi, comme fonctions simples de cette espèce,
y=zcosx, j = arccos.r, j = tang^, j = arctang.37,
Mais, en considérant le cercle de rayon i et en supposant
l'arc moindre que -? la connaissance d'un seul rapport trigo-
nométrique de cet arc entraîne celle de tous les autres {Trigon., 9). On peut, par suite, en partant du sinus, par exemple, ne voir dans les autres rapports que des fonctions dépendantes. Ainsi, l'on a
cos^ = sin ( - — ^ j = \/i — sin-j:,
sin.r y/i — sin- J7
sin.r
4o4 ALGÈBRE SL' l'ÉRIEU HT..
oû9. Dans chaque fonction simple, sauf dans les deux premières, on peut remplacer la seule lellre x par une fonction simple. On obtient ainsi ce qu'on appelle une fonction de fonction. La même transformation peut être répétée plusieurs fois, de manière à conduire à des fonctions de fonctions. On superpose ainsi évidemment les opérations qui correspondent aux fonctions simples.
Prenons la fonction produit y^=Lax et remplaçons x par La?, nous aurons la fonction de fonction y=:aLx. Remplaçons de nouveau x par sin;r, nous aurons Va fonction de fonctions y ^^ahsxnx. Dans le premier exemple, deux opérations se trouvent superposées ; il y en a trois dans le deuxième exemple.
560. D'une manière générale, toute fonction qui dépend de plusieurs fonctions de x est une fonction composée.
C'est le cas ordinaire des fonctions explicites (i49), où les opérations à effectuer sur la variable pour calculer la fonction sont directement indiquées.
561. On peut trouver facilement, bien qu'un peu longuement, les dérivées des dix fonctions simples et, par suite, leurs différentielles, en suivant une marche parfaitement uniforme, que nous indiquerons ici immédiatement.
Soit la fonction
Il suffit de donner à a- un certain accroissement à.x. Il en résulte pour j un accroissement Aj, et l'équation (i) devient
On a alors, en retranchant (i) de (2),
i^y=f{x + Lr)-f{x)
et, en divisant par à.x,
Ay f{x-hàx) — f(x)
Aj7 Ax
Si l'on fait tendre maintenant Ax indéfiniment vers zéro dans le second membre de la relation (3), ce second membre
tend lui-même indéfiniment vers la limite de ~ pour Ax in-
Ax
ALGElillE SUPEIlHiUllE. /jL>0
finiment petit, c'est-à-dire vers la dérivée f'{^) que l'on cherche.
Une fois qu'on connaît l'expression de la dérivée /'(^), on a la différentielle d/ par la relation fondamentale (5V9)
dy =z f [x) dx.
562. Dès que l'on connaît les dérivées et les différentielles des dix fonctions simples, on peut passer à celles des fonctions de fonctions et des fonctions composées qui en dépendent nécessairement, en établissant certains théorèmes généraux.
Mais il est plus simple et beaucoup plus rapide de suivre la marche inverse.
Nous commencerons donc par démontrer les principes à l'aide desquels on peut ramener la détermination des dérivées et des différentielles de toutes les fonctions à celle des dérivées et des différentielles des dix fonctions simples; et nous nous occuperons ensuite des fonctions simples elles-mêmes. La question se trouvera d'ailleurs résolue pour quelques-unes d'entre elles, par suite de nos premières recherches.
4o6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
