Soit d'abord la fonction composée

où u et i' sont des fonctions de x.

Si l'on donne à ^ un accroissement A,r, u, v ^l y prennent les accroissements simultanés

^u, Av', A/.

On a donc

j 4- Ay =: ( « H- A// ) ( r -H At' )

=: Liv -T- '■ A« -^ « Ar -H A« Ap.

Si l'on retranche la relation (i) de la relation (2), il vient

Aj' ^^ V \u -r- Il Ar — \a Ar

ou, en divisant de part et d'autre par \x,

Av ^u Ac A;/ Al'

Ax Aj7 A^' \x \x

En passant aux limites, ce qui est permis lorsque le second membre ne renferme qu'un nombre limité de termes (312), le dernier terme de ce second membre s'évanouit à cause de lim A^- =: 0, et l'on trouve

dy du di>

dx dx dx

ou, en multipliant les deux membres par dx,

dy r= p t/« -r- u dv.

La déià'ée ou la différentielle du produit de deux fonctions est donc égale à la somme des produits obtenus en multipliant chaque fonction par la dérivée ou la différentielle de l'autre.

57\ Supposons que la fonction u devienne une constante c, et que l'on ait

y = cv.

11 faudra faire dans les résultats précédents (570, 549)

du , . ,,

-— =1= o, du = 0, et 1 on aura

dv dv , ,

-j— =: c -7— et dy := c dv.

dx dx "^

La dérivée ou la différentielle d'une fonction multipliée par une constante est donc égale à la dérivée ou à la différentielle de cette fonction multipliée par la même constante.

Si l'on considère spécialement la ito\?\èmii fonction simple (557)

y—ax,

on a immédiatement

-y- z= a, ay -= a dx.

dx

On aurait directement, en suivant la marche indiquée au n° 5G1,

f = ax,

y + Aj ^ a ( ^ + A j? ) ; d'oii, par sousiraction,

Aj =3 a Ax, -r- ^=ia, dy z=. a dx.

572. Revenons au produit de deux fonctions u et v (570) et à la formule

dy ^=.v du -\- u dv.

En divisant les deux membres par le produit j' ^= uv, on en déduit

dy du dv y ~ u v'

Le rapport de la différentielle d'une fonction à cette fonction a reçu le nom de dij/é rende lie logarithmique de la fonction.

On peut donc dire encore que la différentielle logarithmique du produit de deux fonctions est égale à la somme des différentielles logarithmiques de ces fonctions.

Cette propriété, analogue à la propriété fondamentale des logarithmes, explique la dénomination employée.

468 ALGÈBRE SUPÉraEURE.

Elle va nous permettre de trouver rapidement et élégamment la règle de différentiation du produit d'un nombre quelconque de fonctions, pourvu que ce nombre soit fmi (570)