Soit, par exemple
n étant fini et «i, «2» "sj •••> ^^n représentant des fonctions de X.
Nous pourrons considérer le produit donné comme an produit de deux facteurs, u^ d'une part, et u^uz.-.u^ d'autre part; puis, ce dernier produit comme un produit de deux facteurs «2 6t «3 . . . Ua\ et ainsi de suite. Nous aurons alors successivement (572)
dy du^
^ d{u,u^...Un) u^u-,.. .u„
dui ~ «1
du^ d{ «3 . . . u„)
dui
^ du^ ^ dus 1 d{...u„)
M, «3 ... Un
La dernière égalité ainsi obtenue sera
dy dui du^ du^
du
et elle exprime que la différentielle logarithmique du produit d'un nombre quelconque de fondions, ce nombre étant fini, est égale à la somme des différentielles logarithmiques de ces fonctions.
En multipliant les deux membres de cette égalité par/ et en les divisant par dx, on a
dy y du^ y du^ y du-^ y du,,
dx Ui dx «2 dx U3 dx ' ' ' w„ dx
Si l'on multiplie seulement par/ les deux membres de la même égalité, on trouve
dy ^= ^ du, -+- — du. -+- ■=— du^ -t- . . . + — du,i. Ui u. «, u„
ALGÈBRE SCPÉniEUnE. 4^9
On peut donc dire que la dérivée ou la dijférentielle du produit d'un nombre quelconque n de fonctions, n étant fini, est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée ou la différentielle de chaque Jonction par le produit de toutes les autres fonctions.
Si l'une des fonctions se réduit à une constante, le terme qui contient sa dérivée ou sa différentielle disparaît du second membre (538, 5i9); mais cette constante se retrouve dans tous les autres termes et peut être mise en facteur commun. Ainsi, dans la dérivation ou la différentiation de la fonction produit, entendue dans un sens général, toute constante persiste (508).
Différentiation d'un quotient.
57i. Soit la fonction composée
où M et ^ sont des fonctions de j^.
On en déduit
yv = u
el, en appliquant le théorème des différentielles logarilhmiques (572),
dy dv du
Il en résulte
dy du dv
La différentielle logarithmique du quotient de deux fonctions est donc égale à la différentielle logarithmique du dividende moins la différentielle logarithmique du diviseur.
Multiplions par j= - les deux membres de la relation précédente. Nous aurons
dy =: - du dv
ou
(' du — u dv
dy
470 ALGEBRE SI-PÉRIEtJRE.
et, en divisant par dx les deux membres de celle égalité.
dx
du 'dr
dv d.r
La dérwée ou la différentielle d'un quotient de deux fonctions est donc égale à la dérivée ou à la différentielle du dividende multipliée par le diviseur moins la dérivée ou la différentielle du diviseur multipliée par le dividende, le tout divisé par le carré du diviseur.
