X -\- ^x X — a Aj
On en déduit évidemment, en divisant par ^x et en passant aux limites.
dy
dx
et
df=-
Différentiation d'une puissance quelconque. 576. Soit la fonction composée
oi!i a est une fonction de a; et m une constante.
Pour arriver à une règle complètement générale, nous devons distinguer plusieurs cas :
I" m est entier et positif .
Y étant alors le produit de ni facteurs égaux à u, sa diiïérentielle logarithmique (573) est égale à la différentielle logarithmique de u répétée m fois. On a donc
dv
du
ot, en multipliant de part et d'autre par j'= ii"\ il vient dy z= mu'"~^ du.
2" m est fractionnaire et positif.
Soit m =^ — , p cl q étant entiers et positifs. Il on résulte
y= ul.
En élevant à la puissance q les deux membres de celle égalité, on a
y'J=i iiP.
Ces deux fonctions étant constamment égales, leurs différentielles le sont (5i9), et il en est de même de leurs différentielles logarithmiques (572). On peut donc poser
dyf diiP y^ ~ uP ^
c'est-à-dire, puisque p ci q sont entiers et positifs (i°),
dy du q-^ = p
On en déduit, en divisant par q et en multipliant par
OU encore
dy = mu'"-^ du.
3° m est un nombre négatif, entier ou fractionnaire.
Soit /?i = — n, n étant un nombre positif, entier ou fractionnaire. Il en résulte
ou
En appliquant au produit j« ' le théorème de "la diiîérenlielle logarithmique (573) et en remarquant que i est une constante dont la différentielle est nulle (.oiO), il vient
dy du"'
c'est-à-dire, puisque n est entier et positif (i°),
dy dn'^ __ du
En multipliant les deux membres de cette égalité par
j= «-", on trouve
du , ,
dv -=: — ««"" — =: — nu~"~' du, u
ou encore
dy = mu'"^^ du.
Cette dernière formule est donc complètement générale et reste vraie, que l'exposant m de la puissance u"' soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif.
En divisant par da: les deux membres de la formule, on a, également d'une manière générale,
dy , du
dx dx
La dérivée ou la différentielle de la puissance m'^'"^ d'une
ALGÈBRE SUPÉPilEURE. 47^
fonction est donc égale à m fois le produit de la puissance {m — ly'e/ne ^/^ la fonction par sa dérivée ou sa différentielle.
rTil. La dilTérei)liation des radicaux est comprise dans la règle précédente.
Soit la fonction composée
Nous aurons (o7G)
«y = — «'" du,
•^ ni
c'esl-à-dire
dv ^ — a '" du = — '- — •^ ni 'ILi
ou
- du
et, en divisant par dx de part et d'autre,
du
dy dx
dx
La dérivée ou la différentielle de la racine m'^'"^ d'une fonction est donc égale à sa dérivée ou à sa différentielle divisée par m fois la racine m'^"'^ de la puissance (m — ^yème de la fonction.
Dans le cas particulier de ni = 2, qui se présente fréquemment, on a
7 = \/'' et
du du dy dx
df =
La dérivée ou la différentielle de la racine carrée d'une fonction est donc égale à sa dérivée ou à sa différentielle divisée par le double du radical.
