D'après ce qu'on vient de voir (576, 577), si l'on con

4^4 aLGÈBBE StlPÉniEURE.

sidère la cinquième /onction simple (oo7)

on a, pour sa différentielle et sa dérivée,

dy ■=: mx"^~^ clx, ~- =: m x'"-'^ . dx

Si l'on considère la sixiènne /o«C('/o« simple (557)

Y = \'Jc, on a, également, pour sa différentielle et sa dérivée, dx dy I

'^ ~ VI 'yx^^^ ' dx ~ ,„ 7^-'"-i

Solution des questions précédentes par le principe de la différentiation des fonctions composées.

579. On peut résoudre facilement toutes les questions précédentes, à l'aide du principe de la différentiation des fonctions composées (oG7).

Somme algébrique. — Soit la fonction composée

oij u, i>, t, sont des fonctions de x. Nous aurons immédiatement (567)

, dy , dy j dy ,^

dv =: -i- du -\- ^ dv -\ — )-dt.

"^ du dv dt

Mais -f- 1 dérivée partielle de la fonction par rapport à «, du

est égale à i, et l'on a, de même (569), -^ = i et -r- = — i.

Il vient, par suite, comme précédemment (568),

dy z=du + dv — dt.

Produit. — Soit la fonction composée

y = uvt,

OÙ «, V, t, sont des fonctions de x. On a toujours (567)

■ dy . dy , dy

dv ^= -T- du -\- -j- dv -\ — T.dt; •^ du dv dt

. . ,M„. ^ dv dy dy r. •

mais, ICI (o71), -j-=zit, -^-=111, -j-z=.uv. Par suite,

du ' dv ' dt

retrouve la formule (573)

dy =^ i't du -+- ut di' -\- uv dt.

Quotient. — Soit la fonction composée

où u Qi V sont des fondions de x. On a encore (567)

dy =^ -^ du -\ — ^ dv.

"^ du dv

dv I dy u

D'ailleurs, -f- ^ - (571) et -^ = (575). On retrouve

du V dv V

donc aussi la formule (574.)

, I , u j V du — // dv dy ^ - du dv =:

Nous nous servirons encore du même principe pour démontrer un théorème important qui est d'un usage fréquent on Géométrie analytique (t. V).

Théorème des fonctions homogènes.

580. On dit qu'une fonction de plusieurs variables est Aomogène et du degré m lorsque, en multipliant chaque variable par une variable auxiliaire quelconque ou une indéterminée t, la fonction elle-même se trouve multipliée par t"^.

Soit une pareille fonction représentée par

D'après sa définition même, on aura

(i) f{tx,ty,tz, ...) = t"'/U;f,z, ...).

On peut alors différenlier ou dériver les deux membres de cette expression, en regardant t comme seule variable. Le second membre est, dans ce cas, le produit de la puissance l"* par une constante; le premier membre est une/onction composée de t, car on peut poser tx = u, ty ^ v, tz^=zw, ....

En appliquant, d'une part, le principe des fonctions composées sous la forme (i) [567], en remarquant qu'on a (571)

dtx d! y dlz

~dr~^' ~dT~^'' lït^^'

et, d'autre part, les règles relatives à la dérivation d'un produit et d'une puissance (571, 576), il viendra, en désignant, pour simplifier, la fonction par/ dans le premier membre,

df df df

Cetle relation ayant lieu, quel que soit t, on peut supposer ^ =: I, et elle devient

df dj df .,

Cette égalité (2) constitue le théorème des fonctions homo. gènes. On peut donc l'énoncer comme il suit :

La somme des dérivées partielles d'une fonction homogène par rapport aux variables dont elle dépend, chaque dérivée partielle étant multipliée par la variable correspondante, est égale au produit de la fonction par son degré,

581. Désignons par <^{x,y, z, . . .) la dérivée partielle (566, 567) de la fonction homogène /(r,/, z, . . .) par rapport à x. Nous aurons

d /{x,r,z, .. .) cf{x,y,z,...)=~ ^^—

En considérant x comme seule variable dans le second

membre, on peut donc écrire successivement, d'après ce qui

précède (580),

,, , , ^ df{tx, ty, tz, . ..) cf{tx,ty,tz,...)= ^^

^ dt"^f{x,y,z,...) ^ ^,,^, df{x,y,z, . . .) t dx dx

Il en résulte immédiatement (580) que les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — i.

Exemples et applications.

582. Nous venons d'exposer les règles de dérivation et de différentiation qui concernent les fonctions algébriques explicites, et il nous reste à considérer les fonctions transcendantes. Mais, auparavant, et pour habituer le lecteur à la pratique de ces premières règles, nous présenterons quelques exemples et applications.

1° Soit une fonction entière de x {iil )

y = Ao x"' + A, .r'«-i ^ X,.r"'-'- H- . . . + A,„i x -+- A,„.

En appliquant les règles relatives à l'addition, à la multiplication et à l'élévation aux puissances (068, o71, 576), on a immédiatement pour sa différentielle

dj =[mAo.r'»-J-i-(TO — i)Ai.r"î-2-f-(/?2 — 2) Aj-r'^-^ -+-...-+- A,„i]f/.r.

2° Soit une fonction rationnelle de x (447)

On remarque que les deux termes de cette expression s'annulent pour X = 1, ce qui prouve qu'ils sont tous deux divisibles par x — i ( 14) ou qu'ils admettent ce facteur commun. Si on le supprime, il vient

En appliquante règle relative à un quotient (574), on a

, dx(x — 5) — dr(x — 3) 2 ,

3° Soit la Jonction composée

En appliquant les règles relatives à l'addition, à la multiplication, à la division et à l'extraction des racines, il vient

1=- dx.

X yx \^

On peut aussi transformer l'expression à l'aide des exposants fractionnaires et négatifs et écrire

j=^a-\-hx'- — cx-^-\-^x 2.

Il en résulte, d'après la règle relative aux puissances (o76)

df ^= - bx - cLv -r- cx'-'^ d.L

OU, comme précédemment,

1 \/ji

Soit la fonction composée

y = ^ax--k-bx-{-c y—\Ju, en posant m = «.i--i- /;.r-i- c.

En appliquant la règle relative à l'extraction des racines (377), ainsi que les autres règles nécessaires, on a

dy =

1 \J u ^ 1 \Jax^ -+- bx-h c

On trouvera de même, pour la fonction composée,

dx.

dy =

y = ^ax^ -+- bx^-T- ex -h g

y = ^u. en posant ti = ax^-h bx-^ ex du , 3ax^-^ 7.bx -^ c

3 y{ax^-^ bx^-hcx-T-^)-

dx.

5° Soit la fonction composée

En appliquante règle relative à la différenliation d'un quotient (o7i), nous aurons (o6i)

dy =

{a- — X-)- dx .r(a- — .r-) - ( — ixdx)

c'est-à-dire, en simplifiant,

(r^2 ,f.2)2^ j.2(rt2^2) 2

dy = ; dx

En multipliant les deux termes de la fraction du second membre par

(<2"2 — a.--)2, on trouve finalement

dx.

ALGEBRE SUPÉRIEUUE.

6" Sott la jonction composée

j = (aj:'"-i- b)P ou

J = uP^ en posant ax"^ -^- b =^ u.

Nous aurons (S7G)

dj —pnP-Ulu ou dj =p{ax"^'+- Ij)p-^ d{ax"^-^ b),

c'est-à-dire

clf =/p(c?,r'"-f- b)P-'^ /}iax'"-^ dx

dj = pnu(x'"^^{ax"^ -t- // )/'^i (/.r.

583. 7° Chercher quelles sont les courbes où la sous-normale est, en tous les points, une quantité constante p.

Nous avons vu {Ge'om., 754) ce qu'on appelait sous-normale et soustangente d'une courbe.

Soit (J/g. 6) la courbe quelconque AB, rapportée à des axes reclaii-

FiK. 6.

gulaircs Ox, 0/. Menons, en un point quelconque M, l'ordonnée MP, la tangente MT et la normale MN.

La projection PN sur l'axe Ox de la portion de normale comprise entre le point de contact M et le pied N de la normale sur l'axe, s'appelle la sous-normale au point M; de môme, TP est la sous-tangcnte au même point.

Soient X et y les coordonnées du point quelconque M. Il s'agit de trouver l'équation j = /(,r) de la courbe AB, c'est-à-dire la relation qui lie ; es coordonnées variables .r et j d'après la condition imposée.

La figure donne

PN = MP tangPMN = MP tangMTx.

Mais tangMT.r représente précisément (53j) la dérivée -j- de la fonction y = /(.r), MP est l'ordonnée j et PN est la quantité constante

4bO ALGEBRE SUPEFlIEURE.

donnée p. On a donc

OU, en renversant l'ordre et en multipiianl de part et d'autre par 2 dx^

2 r dy ^^ ip dx.

Il est évident que le premier membre de cette égalité représente la différentielle de j^ et, le second membre, la différentielle de ipx. Les différentielles de ces deux fonctions de x étant constamment égales, ces fonctions elles-mêmes ne peuvent différer que par une constante arbitraire C (343, S 49), et l'on a

y"- = 2/Jj: -4- c.

Telle est l'équation cherchée. Elle représente, à cause de la constante arbitraire, toutes les paraboles qui ont p ^onv paramètre ( Gcbm., 738, 7oo, 7o6) et pour axe l'axe des x.

En effet, si une parabole, de paramètre/), est rapportée à son axe et à la tangente au sommet (Geom., 734, 736), son équation est

Si, maintenant, sans changer Taxe des x, ou déplace l'axe des r parallèlement à lui-même en le transportant, vers la gauche par exemple, à une distance quelconque A- de sa position primitive, il faut évidemment changer x en x — k, et Téquation de la courbe prend la forme

j)'2 = ip ( X — k) = ipx — ipk^

c'e.st-à-dire, en posant C = — i-pk,

^'2= ipx -+■ C.

oî^4. 8° Chercher les courbes où la longueur MN de la normale { fig. 6) est, en tous les points, égale à une constante a.

En se reportant à la figure, on doit avoir ici

(i) MN' = MP'-^PN^

Mais nous venons de trouver, dans la question précédente,

~ dx Nous aurons donc, en substituant dans la relation (i),

(2) û2=j2-^jW--^

Cette équation est satisfaite pour

puisque cette condition entraîne (d3o)

Une première solution du problème est donc donnée par les deux droites menées de part et d'autre de l'axe des x, parallèlement à cet axe, à la distance a.

Laissant de côté cette solution, on déduit de l'équation (2)

y dy %y dy

dx =

Le premier membre de cette égalité représente la différentielle de x, tandis que le second membre représente évidemment (o77) la différentielle de — 'Ja- — j '^ . Ces deux quantités ne peuvent donc différer que par une constante arbitraire c, et l'on a

X = — >/a- — j^-H c, c'est-à-dire

Telle est l'équation cherciiôe. Elle représente tous Les cercles de rayon <?, ayant leurs centres sur l'axe des x.

En effet, quand le centre du cercle de rayon a est à l'origine des coordonnées, son équation est {Géom., Toi)

Si l'on déplace, maintenant, l'axe des j, comme dans le cas précédent, vers la gauche par exemple, en le transportant à la distance c, il faut changer précisément x en x — c, et l'on a, pour l'équation du cercle,

Remarquons que les deux droites de la première solution sont les tangentes indéfinies, parallèles à Taxe des x, qui enveloppent tous les cercles de la seconde solution. Cette seconde solution renferme d'ailleurs é\idemment la première.

De C. — Cours. III. 3i

4o2 ALGEBRE SUPÉRIEURE.