Diffc'rentier la fonction
y = ar'^.
Posons — X rziu^ d'où (/« = — dx. Il viendra (587) y = a-^ = a"-.
c'esl-à-dire
dr=a'^ladu= — a-^ladx ol -^ — — a-^la.
dx
4^0 ALGÈBilE SU-PÉrJDEUTlE.
Si l'on a a = e ou si la fonction «st
on trouve donc
dr = — e-^dx et — - = — e-^.
La fonction e-^ et sa dérivée sont donc égales et de signes contraires. 2° Différentier la fonction
En posant mx = u, d'où du = mdx, on a
dr
dr = a^ladu = ma"^^ladx et ~ = ma'^^la.
•^ dx
Si la fonction donnée était
on aurait de même
dr^ — nia'"^^ladx et ~- = — ma-"'-'' la.
dx
3° Différentier la fonction
y = Ae-"'-^-f- Be-'"^.
D'après ce qui précède, on a immédiatement
dj = niAe"'-'^dx — mJSe-'n^dx — m{Xc"^x— Be-'n^)dx
et
dr
= miXe'^^ — 'Be-'"^).
4* Différentier la fonction
Nous appliquerons ici le théorème des fonctions de fonctions, en posant
u =z c^"^ et c = e^.
Nous aurons alors
n en résulte (o6o) et
j = e". u = e^. (^ = e^. dy =^ e"c^'e^ dx ■= e e*^ e^dx
dr
dx
5° Différentier la fonction
ALGEBRE SCPEUIEURE.
Nous aurons, en posant jc -4- \/x- — i = k,
dy = — et du = l i-{ 7-=^= ] dx-,
c'est-à-dire
. (/.ï^ — I -hJcjdx dx
et
dr I
dx ~ /j,-2 I
6° Différentier la fonction
a -\-bx
y ~ ïos, Y- •
■^ "^ a — bx
Dans cet exemple, la fonction logarithmique est superposée à la fonction quotient. Nous aurons donc immédiatement, d'après le théorème des fonctions de fonctions et sans passer par aucune variable intermédiaire, ce qui est inutile dès qu'on a pris un peu d'habitude et qu'on s'est exercé à séparer mentalement les fonctions,
, loge h(a — bx)-{' h(a-h bx) ,
dy = --r— -^- — ——^ — ^— dx,
•^ a-hbx {a — bx)- '
a — bx
c'est-à-dire, en simplifiant.
, 7.ab]oiie , dy 2ab\os.e
dy = r^--. dx et
a-^—b'-x^ ' dx a^—b'^x-^
7° Différentier la fonction
Dans cet exemple, la fonction logarithmique est superposée à la fonction racine. Nous aurons donc encore immédiatement (S77)
7 loge (i-i-,r)2 dy = ^ = cix,
c'est-à-dire, en simplifiant,
j — loge , loge , uy = '— dx = — -^ dx
dy loge dx ~ x'^ — I
qg2 ALOEEEE SUPÉRIEUIIE.
On peut opérer autrement, en mettant j sous la forme
Y = -log = -log(l — .r) log(l -h x).
On a alors
I lose I loge ,, ,
- — - — «(i — X) — - ^rt(l + X)
= — ilogef — ^— 1 \ 1 — X
dx.
c'est-à-dire, comme précédemment
\oze
df =
du
loge
dx.
8° Soit à dijférentier la fonction
jr = loglog.r= log2^.
Nous aurons toujours, d'après le même principe (565),
]ogelog.^^^(loge)^^^ 1o2j: X x\02,x
et
dr (loge)2
dx .rlogo:
Si l'on donnait à différentier la fonction
y = log log logj: = log3 X,
on aurait de même
loge (lo2;e)2 , (\ozeY ,
dy = , ;r —f dx = — j ^-j dx
log log.r .rlog.r j:logJ:log2^
et
dy (loge)3
dx .27 log ^ logo j; La loi est évidente. Si la fonction donnée est
J = log log log . . . log.r = Iog„^, on peut écrire immédiatement
dy
(loge)"
xlo^x \0i^2X\0S,zX . ..log„iX 9° Soit à différentier la jonction
J = l[{x~ayn{x — /j)'i{x — c)P...].
On a évrdemment (493, 49j)
J = ml(x — a)-h- iil{x — h)-r- pl{x — c)-i-. .
Par suite,
, d(x — a) cl(.r — b) dix — c")
clv = ni + /i — -H p —^ '- H- . . .
= i 7 -T "^ -h . .. \dx
et
dr
dx X — a X — b X — c
Si l'on pose
on a (S73)
f'{x) = m{x — a)"^-'^{x — Z))« {x — c)i' , . . -h n(x — by-'^ {x — a)'"{.r — c)i' . . . -h p{x — c)P-i (x — a)"H,x — by> . . .
Il en résulte
c'est-à-dirC; d'après le résultat précédent,
± ^ dlf(x) ^ ,fix) dx dx f {x)
