Soit la fonction

y := siuj:.

Si l'on donne à x un accroissement Ax, y prendra l'accroissement Aj, et l'on aura

V 4- Av =; sin( j:- -H Ao"),

d'où, par sousti'aclion,

Av = sin(>r -h Aa;) — sino;

et, en divisant par Ax,

Av sin(a: + A.r) — sin.r

Lorsque Ix tend vers zéro, il en est de même du numérateur

AIGÈBRE SCPÉKIEURE. zf^S

Av du second membre de l'égalité précédente. La limite de -r^

se présente donc sous la forme -•

Pour lever celte indétermination apparente, remarquons que, d'une manière générale {Trigon., 81), on a

/' + V • P — ^ '&\ï\p — s\nq z= 1 cos sm -'

En posant

/? := jr -h ^x, q-=^ X,

on a ici

E^^lJ-—x^~, P — 'l^^^.

On peut donc remplacer, dans l'égalité (i),

sin(.r -+- A^r) — sin.c par 2cos(.r + - — jsin

Il en résulte, en divisant par i les deux termes de la fraction du second membre et en séparant les facteurs,

. Aj7

Ar / bix\ 2

= cos X -^ —

biX \ 1 J Ajp

En passant à la limite et en se rappelant que la limite du rapport du sinus à l'arc quand l'arc tend vers zéro est l'unité {Trigon., lOi), on trouve

-4- = cos ^, dy = cos X dx.

dx

Ainsi, la dérivée du sinus d'un arc est égale au cosinus du même arc.

On voit par là que le sinus augmente quand l'arc croît de o

à -y qu'il diminue quand l'arc croît de - à tt, etc. {Trigon., 16).

399. Nous indiquerons encore le procédé suivant pour trouver la dérivée de sin.r.

Soient A l'origine des arcs dans le cercle trigonomélrique OA et AM l'arc X {//g. 7). Donnons à col arc raccroissemenl I\iM'= \x.

/\g6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

En menant par le point M la parallèle MN à OA, raccroissemcnt correspondant Aj de la fonction

j- = sinx = MP sera évidemment représenté par M'N.

Fig. 7.

Les deux triangles rectangles OPM, MNM', étant semblables, on a