Soit la fonction

Il en résulte

Par suite (598),

y =z arc sino:.

ce ■= sin/.

dx = cos y dy et dy ■=^ j

" -^ -^ COSJ

c'est-à-dire {Trigon.., 3i)

dx dx dv

dy =

y/i — sin^/ ±\/i ■ — x^ ""^ \/ 1 — X

Pour justifier le double signe, il faut remarquer que, si l'on désigne par Jq l'un des arcs qui ont x = MP pour sinus {Jig. g), tous les autres sont compris dans les formules ( Trigon., 41 )

2Â-7:4-Vo et (2A' H-i)- — >-o,

ces arcs se divisant en deux séries, les uns terminés en M, les autres terminés en M,.

Suivant que l'arc /, considéré spécialement, appartiendra à la première ou à la seconde série, sa différentielle, égale à dy^ ou à — d^/o puisque les constantes disparaissent dans la diiTérentiation, sera donc positive ou négative. Le double signe répond ainsi à la généralité de la question.

Mais, dans la pratique, si l'arc / est désigné d'avance, il n'y a plus d'ambiguïté; car le radical \/i — x- ou y/i — si!»-/, remplaçant cosj, doit recevoir le signe de ce cosinus qui est positif pour les arcs terminés en M et négatif pour les arcs terminés en Mi.

610. On peut trouver la dérivée de arc sin par des considérations géométriques.

Soient {fîg. 9) MP = x et arcAM = j.

Si l'on donne à y l'accroissement M^r=: Aj-, il en résultera pour x l'accroissement M'N = Ao:; et si Aj tend vers zéro, l'arc M^M' tendra de plus en plus vers sa corde MM'.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5o3

On a d'ailleurs, d'après les triangles semblables MNM', OPM,