Soit la fonction 11 en résulte Par suite

yz= arc C0S.3:,

£C = cos /.

do) ^ — sin/<i/

c'esl-à-dire dy=--

dx

et

dx

dy —

dx sin/

\] \ — cos- j \J \ — x' "-^ \] \ — x"-

Le double signe est justifié par les mêmes considéralions

5o4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

que précédemment (609). Si l'on désigne par jo l'un des arcs qui ont a;^OP pour cosinus {fig. 9), tous les autres soiii compris dans les formules ( Trigon., 42)

ik'K-\-yQ et 2A'7:— /o)

ces arcs se partageant en deux séries, les uns terminés en M, les autres terminés en M,.

Suivant que l'arc 7, considéré spécialement, appartiendra à la première ou à la seconde série, sa différentielle sera donc positive ou négative. Le double signe répond ainsi à la généralité de la question.

Mais, dans l'application, si l'arc y est indiqué, il n'y a plus d'ambiguïté; car le radical \Ji — x^ ou y'i — cos-/, remplaçant sinj, doit recevoir le signe de ce sinus qui est positif pour les arcs terminés en M et négatif pour les arcs terminés en M,. Dans ce cas, la dérivée et la différentielle de arccos^ ont un signe contraire à celui de sin )-.

612. On peut aussi trouver la dérivée de arc cos par des considérations géométriques (610). Nous ne nous y arrêterons pas.

Nous remarquerons seulement que, pour une même valeur de X, les dérivées des deux fonctions arc sin^ et arc cos^ sont, d'une manière générale, égales et de signes contraires ou égales et de même signe. Il est facile d'expliquer ce fait.

Soit y l'un des arcs dont le sinus est x. Les deux arcs

!! y et r '- auront alors tous deux x pour cosinus

{Trigon., 8, 19). Des deux relations

arc sm:r 3= arc cos^r,

arc sm x := arc cos x,

on déduit

arc sm x ± arc cos ^ =z - >

La somme ou la différence de arc sin^ et de arccoso; est donc égale à une constante. Dans le premier cas, leurs dérivées sont égales et de signes contraires, puisque la dérivée

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5o5

d'une constante est nulle; clans le second cas, leurs dérivées sont é2:ales et de même sijrne.