Soit la fonction
y =z arc langer.
Il en résulte
a? = tang/.
Par suite (601),
dy
dx = — ~- = (i-f- tang2 y) dy, cos-f o y / y
d'où
, „ , dx dx dv 1
dy = cos^ y ax = — z= — > -~ ^= :, •
"^ iH- taug^j i-\- X' dx 1 + X-
On voit que la dérivée ou la différentielle de la fonction arctang ne présente pas de double signe, bien qu'il existe aussi une infinité d'arcs répondant à une tangente donnée. Mais, si l'on désigne par y^ l'un des arcs qui ont x pour tangente, tous les autres sont renfermés dans la formule unique ( Trigon., 43)
kTi-hyo,
de sorte que tous ces arcs ont pour unique différentielle dyo.
614. On peut aussi trouver la dérivée de arclang par des considéralions géométriques.
Soient {^g. lo) AT = a; et arcAM =j. Si l'on donne à j l'accroissement MM'= A;-, il en résulte pour x raccroissement TT'= Ax; et, si Attend vers zéro, l'arc TN, concentrique à l'arc MM', tend de plus en plus vers sa corde TN.
On a d'aiilcurs, d'après les arcs semblables MM', TN, et d'après les triangles TNT', OAT, qui deviennent semblables à la limite,
