Nous avons défini la différentielle de la fonction
par la formule (549) (2) dy=f'{x)dx.
Dans cette formule, dx désigne l'accroissement arbiU'aire
ALGEBRE SUPEniEURE.
donné il la variable indépendante jc. Jusqu'à présent, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de cet accroissemenl. Nous allons maintenant le l'egarder comme constani. c'esl-à-dire comme indépendant des valeurs attribuées à x q{ de la série des opérations effectuées.
r^i l'on différentie l'équation (2) dans celte hypothèse, il vient
d dy = djcdf {x)=. dxlf {x)dx]=f" {x)dx-,
en indiquant le carré de dx par la notation dx-.
Le premier membre ddy de la relation obtenue est la différentielle deuxième de y ou la dijférentielle du deuxième ordre de la fonction. On la représente par la notation d-y^
de sorte qu'on a
d-y=f"{x)dx-.
En différentiant encore les deux membres de celte nouvelle égalité, on a
dd'^y — dx-df"ix) = dx-[f"'{x)dx'\=f'"{x)dx'
ou
d^y=f"'{x)dx\
En poursuivant, on obtiendra une suite de différentielles
dy, d-y, d\y, . . ., d"y, . . .,
dont chacune est la différentielle de la précédente. La diffél'entielle d'^ y est la différentielle du n^ème ordre ou, simplement, la /i'è'«e dijférentielle de j ou à&f{x), et l'on a, d'une manière générale,
d"y=f"^{x)dx" et
d") dx
La /i'«''"« dérivée def{x) est donc égale à sa n^ème différentielle divisée par la n'^""' puissance de la différentielle constante de la variable indépendante.
On peut, par suite, mettre encore la relation (3) sous la forme
(3 bis)
cl"- y — -j-^ ) dx"" = — ^ dx".
\dx"J dx"
Si l'on prend dx comme infiniment petit principal ou comme infiniment petit du premier ordre (515, olG), on voit que d"y est, en général, un infiniment petit du n''^'"^ ordre.
ALGKDllE STJPÉUIEURE. 00,)
Celte correspondance entre d"^y et dx'^ dans le premier membre de la formule (3) est nécessaire. Si ces deux iiifiiHmenl petits étaieni d'ordres difTérents, /'"'(a;) serait constamment nulle ou infinie (520) et ne serait plus une fonction de x.
Le rapprochement indiqué précédemment entre la dérivée et la dilïérentielle d'une fonction (oiT) se poursuit quand on considère les dérivées et les différentielles des divers ordres.
610. Il n'est pas inutile de remarquer que les résultats seraient tout autres, si l'on ne regardait plus dx comme une constante, mais comme une variable ayant ses différentielles successives dx, d-x, d^x, ....
Pour le montrer, reprenons la formule
dy ■=^f'{x)dx.
La différcnliation des deux membres, dans l'hypothèse où dx varie, donne
d-y = d[f'{x)dx^=f"{x)dx''+f'{x)d-x.
En effet, on a à différentier dans le second membre un produit de deux facteurs variables. La différentielle du. premier facteur f'{oo) est f"{x)dx, qu'il faut multiplier par l'autre facteur dx, et la diiï'érentielle du second facteur dx e^ld-x qu'il faut multiplier par l'autre facteur/'(,z).
Nous n'insisterons pas sur ce point ni sur les nouvelles formules qui représentent alors les différentielles successives dey.
EXEMPLES
6V1. Nous allons donner quelques exemples de différentielles ou de dérivées des divers ordres.
1° Soit la fonction
On a
dy dx
d\y du
—4- = ni(m — \){in — 2)^:"»-^, dx^
Cl, en général,
-j-y = m(m — i){m — 2). . .\ m — n -hi).r"^-"-. Si m est entier, on parvient à
rf'n y , z= m(m — i){m — 21. ..3.2.1.
Cette TO*"'"^ dérivée est une constante, et les dérivées suivantes sont toutes nulles.
2° Soit la fonction On a, en prenant les logarithmes dans le système népérien,
et, en général,
dx"^ ^ '
Si l'on suppose a — e. la— le = 1, ei l'on a
dj d^j d^r d'^r __
Ix " dx^ ~ dx^ ~ dJc" '~'^ ' '
3° Soit la fonction
y = logo:.
On a
dr loîe . ,
-7- = — — = ar-Uoge, dx X ° '
^=-I.^MOS., ^=I.2.X-3l0S^, ...
(In y
-^-^ =(— O'î-i. 1.2.3... (« — i).2r-''loge. dx"^ ^ ^ V /■ o
4" Soit la fonction
y = sinx.
On a
-^- = cosx. -y^= — sm:c, -rV = — cos.r. -y^ = sin.r.
dx ' dx^ oa-3 dx*
Les dérivées de sinx reprennent donc périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
C0S.r. — sinj:, — cosx, sinx.
Al.GÉUllK SUPÉUIEURE. Dat>
On trouverait, de même, que les dérivées de cosx reprennent périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
— sin.r, — COSJT, sinjr, cosor.
5" Soit la fonction
où a est une constante.
On a {Trigon., 32)
-^ = cos(.j: + a)= sin ( — \-x-\-a\ — &\nix-i- - -\- a\ .
La dérivée dej s'obtient donc, dans ce cas, en ajoutant le cjuadrant à la constante a. Il en résulte évidemment, d'une manière générale,
<f"sir, (.r -1- rt)
— sm ( X -{- n — h rt 1 .
Pour a = G, on a donc
d"?\nx . , }=:Sin.r et — ; = sin .r -4- /<
et, pour « = - ) on a
y = sin { X -\ — j = cos^
et
d^ cosx
= sml X -+■ n — i 1 = cos ( X -h n-
Nous terminerons ces exemples par la recherolie de la formule remarquable qui fait connaître la «'"'"'' dérivée d'un produit.
Expression de la n'''"'' dérivée d'un produit.
6i2. Considérons le produit u\^ des deux fonctions u et v. Nous aurons d'abord (570)
d{in') ^ i> du -+- u dv ; puis (5G8)
d'^(in>) =: d{i' du) -+- d{ u dv)
■= {i> d- u -\- dv du ) H- {dv du -f- u d- v) ou
d- {uv) = V d' u -\- 2 dv du -t- u d- v.
536 ALCKBUF. SrrÉlUKL'RE
De même, en (liirércnlianl de nouveau, on trouve
d^ (ur) m c/(i' (i- a) ~h d{i dv du) -\- d{u d-v)
= ( r c/' (i -i- dv d- Il )
-h- {2 dv d- a + 2 d- ç du ) -+- ( d- c du + u d^ v ) on
d^{ui>) = V d^ u 4-3 dç d'^ u -\- i d- v du -h u d^ v.
On voit que, clans ces formules, l'ordre des différentielles de u diminue d'une unité, tandis que celui des diirérentielies de v augmente d'une unité, lorsqu'on passe d'un terme au suivant, de sorte que la somme de ces deux ordres demeure constante et égale à l'ordre de la différentielle du produit ui\ J)e plus, les coefficients numériques des différents termes reproduisent ceux du développement du binôme pour un ex posant égal à l'ordre de cette dilTérenlielle.
L'analogie conduit donc à penser que l'on a, d'une manière générale,
d'" ( uv) = V d'"^ u-\ dç d'"-^ u h ^ d- v d'"- u + . . .
niim — i)...{?n — n-\-i) , H ^ '-^ d'' V d'"-" u -{-...+ u d'" V .
Ce résultat ayant été vérifié pour m = i, 2, 3, il sufiii, pour prouver sa généralité, d'établir, suivant l'usage, que, s'il est vrai pour l'ordre m, il subsiste encore pour l'ordre m-\-i. C'est ce dont on s'assure immédiatement en différentiant la formule ci-dessus, où les termes du second membre représentent tous un produit de deux facteurs variables.
6i3. La formule remarquable ainsi vérifiée peut s'écrire symboliquement
d"'{uv) = {du-{- f/(')"S
à la seule condition d'ajouter en facteur, dans le premier terme du développement de {du -\- dv)'", {dv)^ et, dans le dernier terme de ce développement, {du)°; puis, de remplacer respectivement les puissances
{du)" et {di>)"
par les différentielles
d"u et <:/"('
et, dans les termes extrêmes, {dv)" et {du)° par v et u.
AI.GÈBRE SUPÉRIEURE. 53-
Gil. On y)eut aussi représenter symboliquement la difîércnlielle d'ordre m d'un produit de/» facteurs u, r, w, .,,, par la formule
<:/'"(;*- ('(!'. . . ) — (<^^« 4- (^(^ + (icp» + . . .)'",
à la condition d'ajouter en facteurs, dans les termes du développement du second membre, la puissance zéro des différentielles du, dv, dw, . . ., qui n'y entrent pas; puis de remplacer ensuite respectivement les puissances
{du)", {dv)", {dw)"', ...
par les différentielles correspondantes
celles-ci devant être remplacées à leur tour par u, v, ix>, . . ., dans le cas de n z= o.
Il suffit, pour comprendre cette extension, de se reporter au développement de la puissance «i''^'"« d'un polynôme (303, 305).
Des différences des divers ordres.
6Vo. Il est très utile de rapprocher les différentielles et les différences successives {'6V6) d'une même fonction.
La différence Ak de la fonction v =/(^) étant elle-même une fonction de x a aussi une différence AAj qui en admet une AAAk à son tour; et ainsi de suite indéfiniment.
En supposant qu'on donne toujours à .x le même accroissement ou l'accroissement constant Aa:, les différences des divers ordres seront désignées par les notations
Aj, à'-f, AV, ..., A"j, ....
(Les puissances de A/ seront l'cpréscntécs par Ar, Aj-, ArS ..., A/'S ....)
6'i6. Il s'agit de démontrer que la dérivée d'ordre n de la fonction y=f{x) est la limite du rapport de A'^y à Ax", c'est-à-dire de la différence /i"-'"« de cette fonction à la puissance n'è'"^ de la différence ou de V accroissement de la variable.
538 ALCxÈERE SUPÉRIEURE.
Il est entendu que la fonction donnée et les dérivées successives qu'on en doit prendre restent continues dans l'intervalle qu'on a à considérer.
Cela posé, on a (oio)
a^^o{x, Lx) étant une fonction de x et de ^x qui s'annule pour A.r =: o, quelle que soit la valeur de x choisie dans l'intervalle proposé.
Si l'on prend les accroissements ou les différences des deux membres de la relation (i) pour un nouvel accroissement ^x donné à x, et si on les divise ensuite par Ax, il est clair que le premier membre deviendra
Ax- Le premier terme du second memjjre deviendra
(3 étant encore une quantité qui tend vers zéro et s'annule avec Aj:.
Quant au second terme a du second membre, il deviendra
-^ = o'{x,lx) + y,
en désignant par y une troisième quantité qui s'annule avec ^x, quelle que soit la valeur donnée à x dans l'intervalle. On a, par suite,
1^' =f''{x) + ,S + (f'ix, \x) + y.
Mais la fonction o{x,^x) s'annule pour A:r = o quelle que soit x; il en est donc de même de sa dérivée (f'{x,à.x) [G37], et l'on peut écrire
6i étant une quantité qui s'annule avec Ajt.
ALGÈBUE SUPÉraEURE. 53()
En prenant les accroissements ou les différences des deux membres de celle nouvelle égalité pour un nouvel accroissement Aa: donné h ce ei en les divisant ensuite par Ao^, le même raisonnement conduit à
^2 étant une quantité qui s'évanouit avec A^.
La loi est évidente, et l'on peut poser d'une manière générale
celle dernière quantité s'évanouissan* avec A^. En passant aux limites, on a
ce qu'on voulait démontrer.
6i7. On voit qu'on peut mettre la relation (2) sous la
forme
A" y = -1-^ A^r^^ ô„i Ao:".
•^ da:"
D'ailleurs, on peut faire tendre Aa? vers zéro en prenant ùi.x=zdx (5i8).Il vient, dans cette hypothèse,
A"/ = d^y 4- (5„, dx", d'où
dx"
d"- y Si la /i'^™^ dérivée -r^ reste finie, on a alors dx'^
lim -~ — I ; d-f
c'est-à-dire (530) que la différentielle d'ordre n d'une fonction de X peut remplacer la différence de même ordre de
040 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
cette fonction, dans la recherche des limites de sommes on de rapports, en négligeant une quantité infiniment petite relativement à cette diiTérence. C'est la généralisation de ce que nous avons dit au n"* 547.
Des différentielles des divers ordres des fonctions implicites
6*8. Soit une fonction v de la variable x définie par l'équation
En égalant à zéro la dérivée du premier membre de cette équation, nous avons trouvé (623)
dx dy dx
Cette équation (2) donne -7- en fonction de x et de/, ou
en fonction de x seulement si l'on peut éliminer/ entre les étpialions (r) et (2), et l'on en déduit ensuite dy.
En combinant convenablement les équations (i) et (2) ou en conservant cette dernière telle qu'elle est, on a une équation de la forme
{Ibis) <^{x;y,£^ = o.
Son premier membre étant constamment nul, la différentielle de ce premier membre est constamment nulle (o49), et
Ton a
d(D - do , do ,dv
^dx -h -y- dy -I >— a -j- r= 0,
dx dy -^ ,dy dx
c'est-à-dire, en divisant par dx,
dû do dy do d^y
^ ' dx dy dx ' ,dy dx-
dx
Celte équation (3) fait connaître -— en fonction de x, de/
ALGÈmiF, SUPÉHIEURE. 54'
dy et de -r-5 ou en fonction de x seulement si l'on peut élidx
cIy miner y et -7- entre les équations (2), (2 his) et (3); et l'on dx
en déduit ensuite d^y.
On pourra trouver de même -,^5 -7—7; • • •• Mais nous n m-
dx' dx*
sisterons pas davantage sur cette méthode, parce que nous en indiquerons plus loin une autre plus rapide, qui s'appliquera également au cas où l'on a à considérer plusieurs (onctions implicites. Un exemple, cependant, ne sera pas inutile pour bien éclaircir ce qui précède.
649. On demande de trouver la deuxième diffère al ie lie de la jonction implicite de'/inie par l'eqaation
L'6(|iialion (2) du n° Ci8 est alors, en divisant ses deux membres par 3,
el Ton en déduit
dy y — ,r-
dx j L'équation (2) est de la forme
{ibis) cpf.r,j,^j = o.
L'équation (3) du n° 618 est donc ici
ou
et elle va nous permettre de déterminer ■-—• En remplaçant -j- par sa valeur, en effectuant les calculs et en simplifiant, elle devient
(3 lus) 1XJ ^j^—-y^ +0.^) = 0.
D42 ALGEBRE SUPÉRIEUUE.
Mais l'équation (i) exigeant que le trinôme j^ — Sxj-i-x^ soit constamment nul, réquation (3 bis) se réduit à
'>.rr , „ d-r
el l'on en tire
d-y 2.r>' i.rj __,
— ■- z^ cl d-r = — — ; dx-.
dx^ (j2— j,.:^ -^ i^ji — xy-
ALGÈliRE SUI'ÉIUF.UUE. 5,13
