Soit

la fonction des deux variables indépendantes a: et/. Nous désignerons, d'une manière générale, par

fx^y.7,î:ri^ ou par D

le résultat de m -}- n -{- p -h. . ., dérivations partielles effectuées sur la fonction u, les m premières se rapportant à jc, les n suivantes se rapportant à /, les p suivantes ayant lieu de nouveau relativement à ^, ....

La différentielle et la différence partielles de môme ordre

seront représentées par les no'ations

d'!c'^y,V^::' " et A^'+'^îf!:- u.

Pour simplifier, on prend les accroissements ^x, Av, dœ, dy constants ou respectivement indépendants des variables x et r.

Cela posé, nous aurons d'abord (G39), puisqu'il ne s'agit que de la variable x,

d'i' Il =/]! Il dx'" = I)^^ u dx'".

De même, en regardant/ comme seule variable et en prenant !a différentielle d'ordre n des deux membres, il viendra

f/^',+« u =f'i^y a dx'" dy'' — D'^/^ « dx'" dy" .

Enfin, si l'on regarde de nouveau x comme seule variable et si l'on prend la dilTérentielle d'ordre p des deux membres de la relation précédente, on trouvera

d'xXV « ~fxX7 « dx'" dy" dxP — D:^',+/;+''« dx'" dy" dx'';

et ainsi de suite.

On déduit de là, d'une manière générale,

dx'"dy"dx''^'^ ■"■■''■''■■ " — "-'■'^.r.-r,... «•

Les dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables s'expriment donc, au moyen des différentielles partielles correspondantes, d'une manière analogue à celle adoptée pour les fonctions d'une seule variable.

Enfin, d'après ce qui précède, on a, en regardant x comme seule variable (646),

0)1 s'annulant avec A^.

Si l'on prend maintenant la différence /i'^™^ des deux membres de cette égalité par rapport à y, le premier membre deviendra évidemment

A^y II

Âa'" A )•" * Quant au second membre, il deviendra la «'^'"^ dérivée

partielle du second membre précédent par rapport à y, augmentée d'une quantité «2 s'annulant avec A/. D'ailleurs, puisque w, s'annule avec Aa;, sa /i'«™^ dérivée par rapport à y s'annule aussi en même temps que Aa: (637). On a donc, en désignant la somme de cette dérivée et de «2 par C,

^J-.J " fin+n , o

C étant une quantité qui s'annule quand A^ et Aj s'évanouissent ensemble.

En prenant la différence d'ordre p des deux membres de la dernière égalité par rapport à ^ et en continuant le même raisonnement, on obtient, d'une manière générale, comme pour les fonctions d'une seule variable,

^.r,y,x.... fm+in-pi-.... . ■)

1 devenant nul quand Ait- et Aj s'évanouissent ensemble.

En passant aux limites, on en conclut, comme pour les fonctions d'une seule variable,

\in^n+p+... .. j,n+n+p+...

lim "-c..>.r,... " ,-m+,i+p+... ,, ".r.J'i.... "

""' \ r-in \ v/'i \ rP Jx,y,X.

Ix'" If" AxP ... -^ •^•^' ""■ - dx'" dy" dxi' ...

632. Théouème fondamental. — L'ordre dans lequel on effectue les différentielles partielles successives, pourvu que le nombre de celles qui sont relatives à une même variable ne change pas, est indifférent.

Soit toujours la fonction

Faisons d'abord varier x seulement en le remplaçant par X -\- Ax. La fonction u deviendra

Dans ce résultat, faisons maintenant varier y seulement en le remplaçant par / + A/. Nous aurons, comme nouveau résultat,

u -\- l^U -\- ly u + Ay Aa; «,

c'est-à-dire

u -H Ax « + Ay u -h A j. y u.

De C. — Cours, m. 35

546 ALGÉBUE SUPltRIEURE

Effectuons les opérations en ordre inverse. En faisant varier r seulement, nous aurons

u + Aj. Il ;

puis, en faisant varier œ seulement dans ce résultat,

• Il -\- Ay u + A^ // + Aj. ly u,

c'est-à-dire

// H- A,. « -\- A^. Il -^ ^'l^u.

Les deux résultats définitifs doivent être identiques, puisfiue tous deux représentent ce que devient la fonction u lorsqH'on y change à la fois ^ et / en x -\- Lx et j-+-A/. Il en résulte, identiquement,

Si l'on divise les deux momljres de l'identité (i) par le produit Ao: Aj ou Ar A.r, et si l'on passe aux limites en faisant tendre A^ et A/ vers zéro, on a évidemment, d'après ce qui précède (651),

/l y " = /y , ^ « ou I) j.. ,. u = D j, ^ u ]

et, par conséquent, on a aussi

dl V u cPy g u ,, ,,

—^ — = - • , ou cil ..uz=dl ^u.

dx dy dvdx

Nous n'avons considéré que deux variables et deux opéralions; mais le théorème est complètement général; car, de ce qu'on vient d'établir, il résulte qu'on peut toujours, sans rien changer au résultat final, intervertir l'ordre de deux dljjérentiations successives. Par conséquent, si l'on a un nombre quelconque de variables et d'opérations, il sera toujours possible, en agissant de proche en proche, d'amener telle différentiation qu'on voudra à tel rang désigné, c'est-à-dire d'intervertir à volonté Vordre des dljJérentiaUons successives.

653. Ce théorème fondamental permet de simplifier les notations indiquées précédemment, en n'ayant qu'««e seule iniication pour chaque variable.

Supposons, par exemple, qu'on ait dérivé successivement

M fonction

ALGÈlir.E SUPÉRIEURE. 54"

de manière à obtenir une dérivée partielle du cinquième ordre, telle que

Nous supi)oserons que l'on ait effectué successivement toutes les opérations qui se rapportent à la même variable, ce qui ne modifie pas le résultat, et nous écrirons

'^' dx-dydz-

11 est clair que l'expression de celte dérivée partielle peut être encore simplifiée et mise sous la forme

d'' Il

dx- dy dz'-'

parce que les exposants de dx, de dy et de dz au dénominateur suffisent pour indiquer le nombre des dérivations relatives à cbaque variable.

Mais si, pour avoir la différentielle partielle correspondante, on multipliait la dérivée précédente par dx"- dy dz^ en supprimant le dénominateur, il resterait d'^ u, expression qui ne renfermerait plus aucune trace des différentialions effectuées successivement. Il faut donc, dans ce cas, conserver le dénominateur et représenter cette différentielle partielle par l'expression

d'^ Il , , , , o , , . , , dx'- dy dz-.

dx- dy dz-

La notation (6ol)

dl-,y,z'll

est alors beaucoup plus simple.

EXEMPLES