i" Etant donnée la fonction

trouver

du du d-u dx dy (l.id)

o^o Algèbre supérieure.

On a immédiatement

du , du

dx -^ ' dy -^ '

=.mnx^-^y'^-^. . , = m/ix^'^-^y^-^ = —

dxdy J • dydx dxdy

2° Étant donnée la fonction

u = arc tans- j

trouver

du du r?2 M

On a immédiatement, en appliquant d'abord le théorème des fonctions de fonctions (o64),

— y du

— j:2+j2' dy '

dxdy {x-'-^y-'f {-r'-^y'-r-

d'^u (x2-Hj2^ — 2 r2 v^— j:"2 (/

dydx (-i-'^-T-y^)- {-^'-^J^)' dxdy

3° Étant donnée la fonction

f/w ^/m du d^ u d^ u r/2 u d^ u

dx dy dz dxdy dxdz dydz dxdydz

On a immédiatement

du ixy du x^ du 2x^yz

dx ~ a^ — z'^ '' dy ~ a^ — z^ ' dz ~ {aP- — z'^f

d^u IX d-u IX __ d-u

dxdy a- — z^ djdx a- — z- dxdy

d^u 4-^'^ '^^'"' 4'XJ^ d-u

dxdz ~ (a^ — z'^)-'' dzdx ~ {a- — z-)"^ dxdz

d^u IX- z d'^u IX- z d-u

■ dydz ^ («2 — 22)2' dzdy ^ (a^—z^)^ " dydz'

d^u /\xz d^u __ dxdydz ~ {a^— z^y ~ dydzdx

ALGÈBRE SUPÉIVIEURE. 549

4" Étant donnc'e la fonction

u = e^rs troiwer

dxdy dz On a immédiatement

= e^y^ + xyz e^y^ + 2 xyz e^J- -+- x'^j'^ s^ gxyz = e^y- ( I -+- 3 xjz -+- x^r^ z^ ). 5° appliquer le t/ic'orcine des fonction."! Iiomogènes à la fonction u = {x -+-J -i-zf-{x + j — zf—(x—y+zy— {y -^ z — xf. Ce théorème consiste ici (580) dans l'identité

, , du du du

dx dy^ dz

Remarquons que la fonction u ne change pas quand on y permute x et y ou quand on y permute j et z sans toucher aux signes. En effet, on a, dans le premier cas,

u = {y ->r X -\- zy — {y-^x — zf — (j — ^-t-z)' — (.r + z — j)',

et, dans le second.

u =(j;-+-3-i-j)3 — {x -{- Z — yY — (.r — z -hy)^ — (s -f-JT — ^Y-

-, , , , , du , du

11 en resuite qu on pourra passer de -i- a -r- en permutant x et y et,

de -,- à -^) en permutant y et z. Il suffit donc de calculer -,-• dy dz dx

Or on a évidemment JL =^3(.r-Hj4-z)2 3(.r-4-j— 3)2- 3(.r-j+ 3)2 + 3(7 + 3— .r)2,

c'est-à-dire

(.r^H- j2| 22| ^xy -H 1XZ -f- lyz — X- J-2 — -2 ^xy + IXZ -+- 2JZ

.r2 — j) 2 — ^î H- 2.r)- — 'i.xz -\- lyz x--^y^+ z- — ixy — IXZ -\- %y

, — 3 < ,/ = liyz.

ODO ALGEBIVE StPEPatURE.

Par suite,

du du

-— = 24^:2 et -7- = lin', df dz

En substituant, dans Téquation (i), il vient donc

24 xjz -j- i^xjz -h i\x) z ^^Z u.

On doit, par conséquent, obtenir, toute réduction faite,

u = 2ixjz,

et c'est ce qu'il est facile de vérifier.

6° Etant donnée la fonction

u = s/xi^j-\ démontrer que l'expression

dx^' " dxdf "^ dj -

est é^ale à zéro.

• On a successivement

dx-

dy- ~

— xy

— .ry d- u

dxdr u;--r- )^ , „ „,|- r/i dx

{x-^^y^-y- En substituant ces valeurs dans l'expression indiquée, on trouve bien

Différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables

indépendantes.

GoD. Soit la fonction

des deux variables indépendantes x et/; z^ est continue dans un inlei\ulle donné, lorsque, les valeurs de l'une des varia-

bles étant fixées, a est une fonction continue de l'autre variable.

Nous avons démontré précédemment (5G6) la relation suivante

. du . du .

dans laquelle w est une quantité infiniment petite par rapport à A.r, ly, Au, quand A^ et A/ tendent ensemble vers zéro.

La somme des deux premiers termes du second membre de la relation (i) est donc égale à la différence totale Am, sauf une quantité infiniment petite par rapport à celte différence.

On a été conduit, par analogie, à donner le nom de différentielle totale de u à l'expression

où dx et dy sont des quantités indéterminées et indépendantes qu'on appelle les différentielles de x et de/.

Lorsqu'on regarde ces différentielles comme les accroissements infiniment petits donnés à ^ et à /, l'expression proposée peut être considérée comme l'accroissement total correspondant du de la fonction u, sauf une quantité infiniment petite par rapport à du, et l'on a

, . , du , du ,

(2) du^-dx^^^dy.

Dans la formule (2), il faut avoir soin de ne pas confondre les du du second membre avec le du du premier. Pour cela, il suffit de ne pas supprimer les facteurs communs dx et dy.

On pourrait aussi, pour éviter toute ambiguïté, adopter la notation très simple

du = ~ dx -\ — ■;- dy dx dy "^

ou encore

du =: dj. u -\- dy u.

du , du , , , ,. „ . , ,

puisque -j- dx et -j- dy représentent les différentielles partielles de u par rapport aux variables x et y, comme -7- et

-j- représentent ses dérivées partielles.

002 ALGEBRE SUPERIEURE.

Quoi qu'il en soit, ces considérations pouvant s'appliquer à une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes, comme la relation (i) elle-même, on peut dire, d'une manière générale, que la dijjérentielle totale d une fonction de plusieurs variables indépendantes est toujours égale à la somme des différentielles partielles de la fonction, prises par rapport à chaque variable.

Si l'on a

it=f{^,y, -, •••,0»

on a aussi

, du , du , du , du ,

du ^^ -r-dx ^ — j- dv ^ — 7- rt^ -t- . . . H ;- dt.

dx dy " dz dt

606. Comme pour les fonctions d'une seule variable, si une fonction de plusieurs variables indépendantes est constante dans un intervalle donné, sa différentielle totale est constamment nulle dans cet inten'alle; et réciproquement.

En effet, si u se réduit à une constante, les dérivées par-

. ,, du du du du ,, ., - ,

tielles ^-5 ^- > -r > • • •> -r ' sont toutes nulles, et il en resuite dx dy dz dt

du =z o.

Réciproquement, si l'on a du=zo dans un certain intervalle, on a aussi, dans cet intervalle,

du , du , du , du ,

-r- dx -\ — j— ay H — r- as 4- ... 4- -r-dt^io.

dx dy " dz dt

Puisque dx, dy, dz, . . ., dt, sont des quantités indéterminées, on a alors, séparément,

du du du du

dJc=''' d-y^""^ ^=°' •••' 7?7=°-

Ces conditions montrent, successivement, que u est indépendant de a:, /, z, ...,t,o\\ de toutes les variables. On a donc nécessairement u = const.

607. Comme pour les fonctions d'une seule variable, si, pour les valeurs des variables indépendantes x, y, z, . . . , t, comprises respectivement entre certaines limites, deux fonctions u et V ne diffèrent que par une constante, leurs différentielles totales sont égales entre ces mêmes limites; et, réciproquement, si les deux fonctions remplissent cette dernière condition, elles ne peuvent différer que par une constante.

En effet, si l'on a

« — (' = const.,

il en résulte (636)

d{ii — (^)=zo, du — <:A' = o, du^^d\\

Et, réciproquement, si l'on a

du =: dv, il en résulte

du — t/t' = o, d{u — (^)=o, u — ('^ const.

Différentielles totales des divers ordres d'une fonction de plusieurs variables indépendantes.

638, Il nous reste à considérer les différentielles totales des divers ordres de la fonction u.

Si du est la différentielle totale de u, nous désignerons par d-u la différentielle totale ddu de du, ^diVd^u la différentielle totale dd-u de d'^u, etc. Dans la suite

u, du, d-u, d^ u, ..., d'^u, ...,

chaque terme exprime ainsi, à partir du second, la différentielle totale du terme précédent.

Ces différentielles sont les différentielles totales du premier ordre, du deuxième ordre, . . ., du «''■""= ordre, . . ., de la fonction u.

Cela posé, considérons cette fois trois variables, et prenons

Nous aurons d'abord (653)

, du j du , du , du = -j- dx H — — dy ^ — - dz.

dx dy " dz

Cherchons la différentielle totale ^-«. Elle sera égale à la somme des différentielles totales de chacun des termes du second membre. Il viendra donc, par exemple, pour le premier terme de ce second membre,

, du . , du , , du ,

, d -j— dx d -p- dx d ,- dx

, du , dx dx , dx

d -J- dx =1 ■ — dx -\ dv H -, — — dz,

dx dx dy " dz

004 ALGEBRE SUPi:niEURE.

c'esl-à-(lire

, du , ci- a . , cl- Il , , cl- u j j

cl -y— Clx =^ -,— : Clx- -\ -, — Clxclv -i ; 7- clxclz.

cix clx- clxclv. clxclz

En faisant de même pour les antres termes e, en se rappelant le théorème général relatif à l'ordre des diflerenliations (6o'2), ainsi que la constance des différentielles clx, cly, dz (631), on trouvera évidemment

cU- u =: -j—T dx' -\ — -, — I- dxdy H — -, — r- dxdz

clx'- axclv "^ clxclz

cl- u , , cl- u , ^ d- Il , ,

-+- —, — ;- dxdy + -j— cly- + -. — 7- dyclz

dxdy ^ dy- ■^ dyclz "^

d- u , , d- Il , , d' u , ^

■+- -j — j-dxdz H — - — - dvdz H j— clz-

dxdz dyclz " dz-

d^ u , , d- Il cl- a , ,

2 -; — T- dx cly 4- 2 — — T dxdz -+- 2 -7 — 7- dyclz. dxdy "^ dxdz dyclz -^

On voit qu'on obtiendra d'^ a en multipliant du par (^« ou en élevant 6^« au carré, à la condition de rem|)lacer partout dans le développement {duy par cl-u. On a ainsi la formule symbolique

d- u ^= \ -y- dx H — j- cly -\- -^ dz) ^= {dj.u -+- dy u + cL u)-.

du , du , du -J- dx -\- -j- clv + -j- Ix cly " dz

Cette même loi se poursuivra pour la formation de d^ u, etc. On peut donc écrire finalement la formule générale symbolique

, (du , du , du J \'" , , , , ^

d'" u =^ l -J- dx -\- -7- dy -+- -J- dz ] ={d cU ^ dy u -+- d. u )'",

où l'on devra toujours remplacer dans le développement du second membre {du)'"- par d"Ui, en laissant invariables les puissances de dx, dy, dz, ou celles des indices x, y, z.

On prouvera la généralité de la formule, en montrant que, si elle est vraie pour l'ordre m, elle l'est encore pour l'ordre /?i -h I .

ALGÈBRE SL'PÉRIEUUE. 555

659. Comparons la différenlielle totale d'" u à la différence totale A'"».

[{éprenons la formule connue (655, 566), en la supposant appliquée au cas de trois variables

A du . du . du .

(l) A«= -r- Aj7+ -y- Ar 4- -T- A5 4- 0).

dx dy "^ dz

Nous savons que co est infiniment petit par rapport à ^x, Aj', A^, A«, quand A^, A/ et A^ tendent vers zéro.

Pour calculer A^a, il faut calculer l'accroissement du second membre quand on donne à .r, à r et à z, les mêmes accroissements \x, A/, Ai?, que précédemment.

Rappelons que w se compose de trois parties : une première partie qui, divisée par Ajc, s'annule encore pour Aj?^o, ainsi que ses dérivées (637); une deuxième partie qui, divisée par A/, comprend des termes s'annulant, les uns pour Aa7 = o, les autres pour Aj = o, et dont les dérivées, par conséquent, s'annulent toutes pour Ao; ^o et A/ = o; une troisième partie qui, divisée par A;;, comprend des termes s'annulant, les uns pour A.r ^ o, les autres pour A/^=:o, les derniers pour As =i o, et dont les dérivées, par conséquent, s'annulent toutes pour A:c=:o, A/=:oetA3=:o. L'accroissemeiit de w sera donc (520) infiniment petit relativement à Ao;:-, A.rA/, A/-, A^cAj, A)-Ar, ^z\

D'autre part, d'après la formule (i), on a

du . d- u . ^ d^ u . . d- u . .

i^ -j~ lix ^= -j—\x' H — j — Y-lxà.Y-\ — î — T ùix Iz -\- (^i,,

dx dx- dxdy '^ dxdz

. du . d' u . . d^ u . ^ d- u ^ ^

^d}^y'=d^y^''^y^dj^^r +.7777^-^/^^+"-

. du . d^ u . . d- u . . d^ u , ,