Soit l'équation

oit z est regardée comme une fonction de x et de j et oit a est une constante. On demande de calculer dz et d-z.

En employant les formules du n° GG9, nous aurons

dz =■ pdx -\- q dy, d-z = rdx^-\-isdxdy -+- tdy''-

11 viendra successivement

dx IX X

dz dl

__ dy __ ^ __ 21

^~ df~ 1Z~ 2*

dz

Nous aurons ensuite

d.v- ~ dj'^ dz^ ' dxdy dxdz dy dz

Les équations (3) du n° 669 deviendront donc, en divisant par i les deux membres de chacune d'elles,

i-^p^-^rz = o,

pq -h sz = o,

et l'on en déduira, en faisant intervenir Téqualion donnée, ' "^ P' — -^'-i- =■- <^^~ — ■>'"'

__ El =51'

On trouvera finalement, d'après ces valeurs,

, xd.r-\-Ydy dz ^= -^ >

d'^z = -^ \{n^~ j^-)dx^ -h 2.rjdxdj- -hia^- — .1- )dj^].

2" Soient les deux équations

oii y et z sont des fonctions implicites de la variable indépendante x et où k et a sont des constantes . On demande de déterminer dy et dz^ d^y et d^z.

En opérant directement et en différentiant une première fois les deux équations, on a

dx -T- dy -^ dz = 0,

xdx -^ydy -i- zdz =: o.

En résolvant ces deux équations du premier degré en dy et en dz, on trouve facilement

, z dx — ■ X dx

et, par suite,

dx y — z dx y — z

En différentiant de nouveau les résultats précédents et en se rappelant que dx est constant, on a

d\y -^-d^z = o, dx^- -r- dy- + dz'^-¥-y d^y -hzd^z = 0.

La première équation donne d'^z = — d-y. La deuxième devient alors, en remplaçant dy et dz par leurs valeurs,

(z.^x\- (x yY

dx^ H ; dx- -+- — r dx- -h (y — Z ) d'Y = O '.

d'où l'on conclut

dz

xdx —

dx

iz

5';0 ALGÈBRE SUPÉRIELTiE.

Une transformation évidente conduit à

3,,2/,2 fil y 3^2— 7,2

On a ensuite

^^" = 7 ^f^•r^ doù ^-- = -.

673. Il nous resterait, pour terminer ce qui constitue à proprement parler les principes du Calcul différentiel, et avant de passer à ses applications analytiques les plus usuelles, à traiter le problème du changement de variables. Mais celte question, importante surtout en Mécanique et en Physique mathématique , n'étant d'aucune utilité en Algèbre supérieure, nous la renverrons à la fin de ce Cours.

ALctlJUK SUPÉIIIEL'UE. 571