Si, dans la formule (A), on change h en — //, il vient

± — -(i — 9)"-pF"'^'(j: — 0/i).

ALGEBRE SUPERIEURE. O'-O

Les formules (A) et (B) sont applicables, sauf les remarques que nous présenterons ultérieurement, à toutes les fonctions cpii restent finies et continues, ainsi que lein-s {n + i) premières dérivées, entre les limites j? — h et a- + //,

677. AuriU'S formes du reste. — p étant un nombie quelconque, on peut faire p = n. Le terme compléinenlairc (073) prend alors la forme très simple, indiquée pour la première fois par Lagrange,

Si l'on fait /> :=o, on obtient cette autre forme du reste de la série (673)

qui a été donnée par Cauguy et qui peut être utile dans les applications.

678. Les différentes formes du reste contenant le facteur F"+' (^ H- 9A), où B est un nombre indéterminé compris entre o et i, la difficulté pour s'assurer de la convergence de la série de ïaylor est de reconnaître si F"+'(a7 h- 9A) conserve une valeur finie quand n croît indéfiniment.

Prenons le reste de la série sous sa forme la plus simple (677)

1 . 2 . 3 . . . n ( /i -1- I ) et remarquons que le premier facteur

tend toujours vers zéro, quand n croît indéfiniment. En effet,

lorsque /i + 1 a dépassé la valeur de h et que l'on continue à

faire croître «, on doit multiplier l'expression précédente

par ns fractions proprement dites , ^ ,•••■> nui de-

viennent de plus en plus petites. Lors même qu'elles seraient tout*^'; égales à la première, on sait que leur produit aurait pour limite zéro (478). Il en sera donc de même a for-

tioj'i du premier facteur du reste, et ce reste tendra alors vers zéro autant qu'on voudra, si la fonction F(^) et toutes ses dérivées jusqu'à '¥"-"^^{x) demeurent continues et finies entre x e\,x-^h, lorsque n croît indéfiniment.

Dans celte hypothèse et en ne conservant que les (/i + i) premiers termes de la série, si l'on désigne par m et par ^\ la plus petite et la plus grande valeur de F"-^-'(^) quand x varie de x h x-\-h, le terme complémentaire sera lui-même compris entre