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et l'on obtient ainsi deux limites de l'erreur commise.

679. Il n'est pas inutile de faire observer que, sauf la forme du reste, la fonction F{x-hh) ne peut pas être développée, suivant les puissances croissantes de h, d'une autre manière que par la forrxule (A) [675]; car nous avons démontré (422) l'identité de deux séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une même variable, lorsque leurs sommes sont égales.

680. Si, dans l'équation (Â) [675], en donnant au reste la forme la plus simple (677), on fait successivement /i = o et «:=!, la formule de Taylor se réduit à ses deux ou à ses trois premiers termes, et devient successivement

F{x-hh) = ¥{x) + -F'ix^e/i),

F{x-i-/i) =F(a:)+ -F'{x)-h ^F"{x + eh).

On l'emploie souvent sous l'une de ces deux formes.

681. Si l'on pose j = F(x), la formule de Taylor peut s'écrire, en adoptant toujours pour le reste la forme la plus simple,

H \ F" {x) + 5 — F"+> {X + Oh).

ALGÈBRE SUPÉniEURE. D^'J

Mais, h étant l'accroissement constant arbitraire donné à x, les quantités

h¥'{x), hT{x), ..., h''¥''{x), A'^+'F«+'(.r),

sont précisément, par définition (639), les différentielles successives

dy, et' y, ..., cl" y, d^'^^y,

de la fonction y. On peut donc écrire, en désignant par

la valeur de la difTérentielle du {n -+-iyème ordre, qui répond, non plus à x, mais à une valeur de a: comprise entre x et X -T- h,

{ F{x -r- h)-= y -^- dy -\. h — p — i- . . .

' , ^"7 , Vd"-^'y-\:,^^u