a étant un nombre donné, étudier la série
rt--'i- (a -4-T)2-(-(rt M- 2)--!-. . .-H (« -4- « — i;--T-. . ..
14o. Trouver la limite de la série
«1 -I- «2 -1- «3 + • . .-T- iin-^- • •■) dont le terme général a pour expression
rt'2 — n -h i
146. rt, 6, 8, étant des quantités positives quelconques, satisfaisant
à la relation
la limite de la série
a «(«+8) «(a -+- 8)(« + 28) b '^ b{b-+-B) "^ blbTJJÎTT^ "^ • " • rt(«-t-o)(rt-4-26)...(rt-t-«8)
est égale à a.
b{b-+-B){b-^'î^)...{b-+-nù)
(M. Catalan, Mélanges mathcmatiquex.)
147. Si l'on groupe d'une manière quelconque, mais sans changer leur ordre, les termes consécutifs d'une série convergente, la nouvelle série obtenue est convergente, et présente la même limite que la première.
730 QUESTIONS PHOPOSÉES
(La réciproque de ce théorème n'est pas exacte, c'est-à-dire que la nouvelle série peut être convergente, sans que la première le soit; mais, si la seconde série est divergente, la première l'est nécessairement.)
lis. Démontrer que le nombre e ne peut être racine d'une équation du second degré à coefficients entiers.
l-i9. Soient les deux séries convergentes
«0 -+- «1 -J- «2 -4- . • . -H Un-i -t- Un -H Itn-^l -(-..., Co -^ ('l -f- ('2 -h . . . H- Vn-'i -1- tV -4- <.'n+l -+-...,
qui ont S et S' pour limites respectives.
Si ces séries ont tous leurs termes positifs, ou si elles demeurent convergentes lorsqu'on remplace les termes négatifs par leurs valeurs absolues, la série
«'O -4- «'i -4- M'2 -H . . . -f- (f^-i -\-iVn-\- Wn+i ^- . . . ,
dont le terme général a pour expression
eît convergente, et elle a pour limite le produit SS' des limites des séries proposées.
loO. Développer en série ordonnée suivant les puissances croissantes de .T. à l'aide de la méthode des coefficients indéterminés, le produit indéfini
(i — jr)(i — x-)\i — ^*)(i — ■^^)ij — J"i6). . ..
(Se reporter au n° 423.)
loi. Obtenir le produit j: cota: en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x, à l'aide de la même méthode, et en se servant des développements de sinx et de cos.r indiqués au n° 397, 3", et démontrés plus loin (702).
(On posera d'abord .r cotj: = Ao-h A i r^ -f- A2 .r* -4- As.r^n- )
1S2. Obtenir, en série ordonnée suivant les puissances croissantes de z. le produit indéfini
(n-.r3)(i-f- j:-2)(i -i- jr33)(i -f-x*2). . .(i-i-x«2)
(Se reporter au n° 423.)
lo3. Même question pour le produit indéfini
(i -^ xz){i -\- x^ z){\ -i- x'^ z) . . .(n-a;-«-is)
SUR l'algèbre supérieure. r3l
134. Écrire, sous forme de série convergente, la fraction continue
X = (2,1,1, i;4,-- •)• {Foir la question 61.)
loo. Développer en fraction continue la série
(On appliquera la formule du n" 434).
156. Supposons qu'on ait à considérer un produit composé d'un nombre illimité ou inOni de facteurs, variables avec leur rang n suivant une loi donnée.
Le terme général de rang n, exprimé par une fonction de n, pourra avoir une limite supérieure, inférieure ou égale à l'unité, lorsqu'on fera croître n indéfiniment.
Dans le premier cas, les facteurs du produit finissent par être toujours supérieurs à un nombre fixe plus gr?.nd que i, et le produit correspondant croît indéfiniment et a l'infini pour limite.
Dans le deuxième cas. les facteurs du produit finissent par être toujours inférieurs à un nombre fixe plus petit que i, et le produit correspondant diminue indéfiniment et a zéro pour limite.
Dans le troisième cas, c'est-à-dire quand le terme général de rang n a pour limite l'unité, on dit que le produit proposé est cnnvergent, lorsque le produit de ses n premiers facteurs tend vers une limite déterminée différente de zéro, lorsque n croît indéfiniment.
D'après ce qui précède, il n'y a lieu d'étudier que les produits composés d'un nombre infini de facteurs, qui sont de la forme
(l) p=:(,^al)(I^-ot2)(I-^a.,)...(I+a„)...,
et dans lesquels a^ tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini.
Cela posé, les quantités aj, a,, aj, ..., 'Xn, ..., étant supposées toutes de même signe, c'est-à-dire les facteurs du produit (1) étant tous plus grands ou plus petits que l'unité, on demande de démontrer que le produit P est convergent ou divergent en même temps que la série
157. Démontrer, plus généralement, que les quantités ai, a2, aa, ..., a„, ..., étant des quantités réelles quelconques, le produit
P = (i-4-ai)(i4-a2)(i-t-oe3)..-(i-+- 2c„)...
est convergent, lorsque les deux séries
ai -f- 22 -^ 2t3 + • • • ^- ^« -^ • • • ,
sont convergentes l'une et l'autre.
^32 QrESTIO?s'S PROPOSÉES
Le produit P n'est pas convergent et tend vers zéro, lorsque, la première série étant convergente, la seconde est divergente.
(Ilfaut remarquer d'ailleurs que, lorsque les quantités ocj, a,, as, .... a„, .. ., sont de même signe, la convergence de la première série entraine nécessairement celle de la seconde.)
