LIVRE CINQUIÈME

ÉTUDE DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES

181. Démontrer que la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est un infiniment petit d'un ordre supérieur.

182. La tangente en un point M d'une courbe est, par définition, la limite de la sécante MM', lorsque la distance des deux points M et M' pris sur la courbe tend vers zéro ou devient un infiniment petit, qu'on peut prendre comme infiniment petit principal (dIo).

Démontrer que la direction limite de MM' ne change pas, lorsqu'on substitue au point M' un point M" pris hors de la courbe et tel, que la distance M'M" soit un infiniment petit d'ordre supérieur au premier ou à MM'.

183. Si une courbe AB est déduite d'une courbe ab, de manière que, à chaque point m de ab corresponde un point M de AB, la distance de deux points infiniment voisins de l'une des courbes est de même ordre que la distance des points correspondants de l'autre courbe.

ISi. Si une surface 2 est déduite d'une surface S, de manière que, à chaque point de l'une corresponde un point déterminé de l'autre. la distance de deux points infiniment voisins de l'une des surfaces est de même ordre que la distance des points correspondants de l'autre surface.

18o. Étant donnée une courbe plane AB, si l'on abaisse des perpendiculaires (telles que OP) d'un point ou d'un pôle fixe 0 sur des tangentes (telles que MP) à la courbe AB. le lieu des projections du pôle sur les tangentes constitue une nouvelle courbe A'B', qu'on appelle la podaire de la première par rapport au pôle choisi. La courbe AB est, à son tour, Y anti-podaire de la courbe A'B'.

Cela posé, on demande de mener la tangente en un point P de la podaire de la courbe AB, en démontrant que la normale en P à la podaire oasse par le milieu du rayon vecteur OM qui correspond au point de contact M do la tangente MP à la courbe AB.

SUR L ALGEBRE SUPÉRIEURE. r-'-î-

186. Retrouver, par les propriétés des infiniment petits, la construction connue de la tangente en un point donné d'une ellipse dont les foyers sont déterminés (Géom., 670).

187. Quelle est la podaire de l'ellipse par rapport à l'un de ses foyers pris pour pôle?

188. Quelle est la podaire de la parabole par rapport à son foyer jjris pour pôle ?

189. Construire par points l'anti-podaire d'une courbe donnée par rapport à un pôle donné.