CHAPITRE PREMIER

DIVISION DES POLYNOMES ENTIEKS. — DIVISIBILITÉ.

Division des polynômes entiers.

l. D'une manière générale, La division a pour but, étant données deux expressions algébriques , l'une appelée dividende, l'autre appelée diviseur, d'en déduire une Iroisicme expression algébrique appelée quotient, qui, multipliant le diviseur, reproduise le dividende en valeur absolue et en signe.

Nous ne nous occuperons ici que de la division des polynômes entiers par rapport à une certaine lettre prise comme lettre ordonnatrice, en renvoyant à l'Algèbre élémentaire ( Alg. élém.. VO, il, 42, 4-3, kk) pour tout ce qui se rappoile aux définitions, à la division des monômes et à celle d'iuï polynôme par un monôme.

4 ALGEBRE SUPERIEURE.

Le plus souvent, quand on a deux polynômes entiers A elB à diviser l'uu par l'autre, on ne peut ([u'indiquer l'opération

sous forme fractionnaire ^- Cette fraction est bien le quotient; car, multipliée par le diviseur B, elle reproduit le dividende A [Alg. élém., 61).

Quelquefois, cependant, on peut remplacer l'expression

fractionnaire ^^ par un jjolynôme Q, entier par rapport à la b

lettre suivant laquelle les deux polynômes A et B sont supposés ordonnés : la division est alors réellement effectuée. C'est la recherche de ce polynôme Q que nous nous proposons, et ce sont les règles de la division des polynômes ordonnés que nous allons retrouver.

Pour fixer les idées, nous supposerons jusqu'à nouvel ordre que les trois polynômes considérés sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre x.

Il est entendu, d'ailleurs, qu'il ne s'agit que de quantités réelles, c'est-à-dire positives ou négatives.

Des divisions exactes.

2. Il est facile de voir d'abord, en supposant que le problème admette une solution, qu'il ne peut en admettre qu'une seule.

En effet, s'il pouvait exister deux quotients différents Q et Q', on aurait à la fois

A=BQ, A=BQ',

d'où l'on déduirait, par soustraction,

o = B(Q-Q') et, par suite, B n'étant pas nul,

Q — Q':=o ou Q = Q'.

3. Cela posé, nous raisonnerons comme il suit pour trouver le premier terme du quotient cherché et, ensuite, tous les autres.

Puisqu'on a, dans le cas examiné, — =Q, on a aussi

A=. B X Q. Le dividende est donc alors le produit exact du

ALGEBRE SUPERIEURE. D

diviseur par le quotient. Puisqu'il s'agit de polynômes ordonnés, le premier terme du dividende provient sans réduction du produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient; de même, le dernier terme du dividende est égal au produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient {Alg. élém., 27). On a donc ce premier théorème :

On obtient le premier ternie du quotient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

De plus, le dividende représentant la somme des produits partiels du diviseur par les différents termes du quotient, si l'on retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme trouvé au quotient, le reste obtenu, ordonné comme le dividende et le diviseur, représentera la somme des produits partiels du diviseur par les autres termes du quotient.

On est ainsi conduit à une nouvelle division, dans laquelle on doit prendre ce reste pour dividende en conservant le même diviseur, et l'on a ce second théorème :

Si l'on retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient, le reste obtenu, divisé par le diviseur, donne l'ensemble des autres termes du quotient.

Par conséquent, en continuant l'opération, on doit diviser le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, et l'on a le second terme du quotient. On mulii|die le diviseur par ce terme, on retranche le produit obtenu du premier reste, et Ton opère sur le second reste auquel on est conduit et sur les suivants comme sur le premier. Le dernier terme du quotient correspond à un reste nul, car on a retranché alors du dividende toutes les parties qui le composent.

Ainsi, quand la division est exacte, on arrive forcément à un reste nul, qui indique que le quotient esL complet; et, quand on arrive à un reste nul, la division est exacte, puisf|iie le polynôme dividende représente le produit du polynôme diviseur parle polynôme écrit au quotient.

Pour les exemples de divisions exactes et pour les différents cas qui peuvent se présenter, nous renverrons à l'Algèbre élémentaire {Alg. élém., h(S, kl, 48).

O ALGEBRE SLPEUlErV.K

k. Lorsqu'on a déterminé un certain nombre de termes du quotient, le reste auquel on s'arrête s'obtient toujours en retranchant du dividende le produit du diviseur par les termes successivement écrits au quotient. Par conséquent, en désignant par Qi l'ensemble des termes écrits au quotient à un moment quelconque de l'opération, et par Rj le reste correspondant, on a toujours l'égalité

R, = A-BQ,

ou

11 en résulte que, lorsqu'on suspend la division, supposée exacte, à un instant quelconque, le dividende est toujours identique au produit du diviseur par les termes écrits Jusque-là au quotient, augmenté du reste auquel on a arrêté le calcul.

Celte remarque conduit tout naturellement aux divisions qui ne peuvent s'effectuer exactement.

Des divisions impossibles exactement.

5. On peut souvent prévoir l'impossibilité d'une division, au point de vue auquel nous nous plaçons d'un quotient entier par rapport à la lettre ordonnatrice. Nous ne nous y arrêterons pas, et nous renverrons sur ce point à l'Algèbre élémentaire {Alg. élém., 49).

Nous observerons seulement que, le dividende et le diviseur étant supposés ordonnés suivant les puissances décroissantes de œ, les degrés des restes successifs par rapport à x vont constamment en diminuant.

Lorsque la division est impossible, il arrive donc un moment oi^i le reste obtenu est, à la fois, différent de zéro et de degré inférieur au diviseur par rapport à la lettre ordonnatrice. Si le quotient doit rester entier en x, l'opération se trouve alors interrompue et son impossibilité démontrée.

On est, dans ce cas, conduit à généraliser comme il suit la définition de la division, en se reportant au n" 4 :

6. Étant donnés deux polynômes A et B entiers et ordonnés par rapport à x, de degrés m et n{ni';> n) en x, diviser ces deux polynômes l'un par l'autre, c'est trouver un polynôme Q

ALr.EBRE SrrF.lîTFTTxE. 7

entier par rapport à x et un polynôme 11 entier par rapport à ce et de degré inférieur à n, tels qu'on ait l'égalité

A = BQ + [\.

A est le dividende, B le diviseur, Q le quotient el R le reste de la division etFectuée. Cette égalité se met souvent

sous la forme

7. Il est facile de voir, en supposant que le problème posé ait une solution, qu'il ne peut en avoir qu'une seule.

Admettons, en effet, pour un instant, l'existence de deux solutions distinctes représentées, d'une part, par les valeurs Q et R et, d'autre part, par les valeurs Q' et R'. Nous aurions alors les deux égalités

A=:BQ + ll, A = RQ^-K';

d'où l'on déduirait

BQ + B = BQ'+R'

ou

Le premier membre de cette relation est au moins do degré n en a; comme le diviseur B, puisque les quotients Q et Q' sont entiers par rapport à x. Or, par hypothèse, les restes R et R' sont des polynômes de degré inférieur à //. Leur différence remplit donc la même condition, et l'égalité précédente est impossible, à moins que l'on ne suppose Q = Q'; mais, alors, on a aussi R = R'.

8. Quant à la recherche des polynômes Q et R, elle résulte immédiatement des règles données pour les divisions exactes (3). On commencera et l'on poursuivra la division de A par B jusqu'à ce qu'on parvienne, non pas à un reste nul, mais à un reste de degré inférieur en .r à celui du diviseur B.

Division des polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de la lettre ordonnatrice.

9. Nous avons supposé jusqu'ici les polynômes A et B ordonnés suivant les puissances décroissantes de la lettre ordonnatrice ce.

o Ai.cKnr.F. st pnniF.LUF..

Si on les ordonnait, au contraire, suivant les puissances croissantes de celle lettre, rien ne serait réellement changé à ce qui précède, dans le cas d'une division exacte, et l'on trouverait simplennenl le même quotient renversé.

Mais, dans le cas des divisions impossibles à effectuer exactement, il y a lieu de présenter quelques remarques.

10. On voit d'abord que le problème de la division de A par B est alors indéterminé, en ce sens que l'identité

A = BQ -+- B ou 4 =^ Q + S

est susceptible d'une infinité de formes différentes.

En effet, le premier terme du diviseur étant indépendant de X ou constant, ce premier terme divisera toujours (algébriquement parlant) le premier terme d'un reste quelconque, et, par suite, l'opération pourra s'arrêter où l'on voudra ou se continuer indéfiniment, puisque, par hypothèse, on ne peut trouver un reste nul.

Ensuite, le degré du quotient par rapport à x va toujours en croissant à mesure qu'on poursuit l'opération, et il en est de même, par conséquent, de celui du reste

B = A-BQ.

Le premier terme du quotient étant une constante, puisque les premiers termes du dividende et du diviseur sont indépendants de X, le reste R ne contient jamais de terme constant, et l'on peut toujours y mettre en facteur commun la puissance de x qui affecte son premier terme. Ce reste est donc de la forme

en désignant par B, un autre polynôme entier par rapport à X.

Cette forme suppose qu'on a effectué k 4- i divisions partielles, c'est-à-dire que le quotient Q est du degré k par rapport à X.

11. Divisons, par exemple, i par i — x. On a évidemment, comme résultat de l'opération, l'identité

i =^{i — x) {i -^ X + x'^ + . . . '^- x'^) + jr"+*.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. ()

Le quotient étant du degré n, le reste est du degré « -+- 1 et lii est ici égal à i.

On déduit de cette égalité

Si l'on divisait i par i + x, on trouverait

Ces formules peuvent être utiles.

Divisibilité.

12. En Arithmétique, la théorie de la divisibilité consiste à reconnaître, à l'aide de certains caractères particuliers, si un nombre est diviseur exact d'un autre nombre. En VIgèbre, la question se pose de la même manière, en remplaçant les nombres par des expressions algébriques. Nous allons rappeler quelques exemples intéressants.

D'une manière générale, d'ailleurs, pour trouver les conditions de divisibilité de deux polynômes A et B, entiers en x, l'un par l'autre, il suffit de les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de X et d'essayer leur division en la poursuivant aussi loin que possible. Lorsqu'on ne peut plus continuer l'opération, le dernier reste obtenu égalé à zéro fournil la relation à laquelle doivent satisfaire les coefficients des deux polynômes pour que le second soit diviseur exact du premier.

La divisibilité algébrique a nécessairement des rapports intimes avec la théorie des nombres et avec celle des é(iuartions.

13. Condition de divisibilité d'un polynôme entier en x par un binôme de la forme x — a. — Nous reproduirons ici les deux démonstrations déjà données en Algèbre élémentaire {Alg. élém., 52, 33).

Première démonstration. — Désignons par X le polynôme dividende oidonné suivant les puissances décroissantes de x et supposé de degré m. Le diviseur x — a étant du premier degré en x, la division pourra continuer tant que le reste ob-

lO ALGEBRE SUPERIEURE.

tenu contiendra x. Le reste final de l'opération, s'il y en a un, sera donc nécessairement indépendant de x, c'est-à-dire ne contiendra pas cv.

Appelons Q le quotient trouvé, entier par rapport à ^. el R le dernier reste, s'il y en a un. On aura l'égalité fondamentale qui résulte de toute division (6,8)

Cette égalité reste vraie, quelles que soient les valeurs attribuées aux leitres qui y entrent. Elle subsiste donc encore quand on y re nplace a: par la valeur spéciale a.

Désignons par Xa (c'est là une notation générale très simple et très expressive) le résullat de la substitution de a à la place de X dans le dividende; remarquons que le facteur a^ — a, devenant égal ha — a, s'annule, tandis que l'autre facteur Q qui ne contient pas x en dénominateur prend une valeur finie ou égale à zéro; dans les deux cas, le produit (a? — a)Q disparaît. Quant au reste R, qui ne c ntient pas .x, il ne change pas. On a donc identiquement

ce qui nous conduit à ce théorème très important : Quand on divise un polynôme entier par rapport à x par un binôme de la forme x — a, on obtient immédiatement le reste de la division en remplaçant dans le dividende la lettre x par la lettre a.

On peut donc, a priori, s'assurer de la possibilité de la division.

Si la substitution indiquée conduit à un résultat nul, on a R =1 o, et la division réussit.

Réciproquement, si la division réussit, R = o, et la substitution indiquée conduit à un résultat nul.

La condition nécessaire et suffisante pour qu' un polynôme entier par rapport à x soit divisible par un binôme de la forme X — a est donc que ce polynôme s'annule pour x ^=i a.

Deuxième démonstration. — Déterminons la loi de formation du quotient du polynôme X par le binôme x — a.

En établissant cette loi, nous donnerons une nouvelle démonstration du théorème précédent.

Le polynôme X a pour forme générale

X = Ao^'" + A,^''^-' + A,^'"-^4-. . .-f-A„,,^-i-A,„.

\Lr.EBr, F. SUPERIEURE.

En opérant par colonnes verticales {Alg. élé/n., 47), sa division para; — a présente évidemment la disposition suivante :

-ha.,-J

-A, - A^fl^ •A. a

-f-A.rt'"- + . . . .

+ A,„,rt + A,„.

En commençant la division, on aperçoit facilement comment les premiers termes du quotient se déduisent les uns des autres. On en conclut alors immédiatement que, le dwidende étant nii polynôme du degré m, le (juotient est un polynôme complet du degré m — i, dont les coefficients se forment successivement en multipliant le coefficient du terme précédent par a, et en of autant au produit obtenu le coefficient du terme du dividende qui jst de même rang que le terme qu'on veut écrire au quotient.

Le dernier terme du quotient est donc

Ao«'"-'+ A, «'""'-+- Aj «'"-* + . . . + A„,.2« + A,„ ,, et, par suite, le reste de la division a |»our expression

\„a'" +- A , rt'"- ' -f- Ao rt"'-2 4- ... -h A„,, « ^ A/»,

c'est-à-dire X^, comme nous venons de le démontrer par une antre voie. On arrive donc aussi au même théorème.

Si l'on éprouvait quelque difficulté à admettre la ijénéi'alité de la loi énoncée, on emploierait un tour de raisonnement très usité et déjà indiqué en Arithmétique {Arithm., 325).

Si l'on suppose la loi vérifiée pour les n premiers termes du fiMutient, il est facile de voir qu'elle s'étend nécessairemeni au (/i 4- i)''-'"* terme; car si Po^'"-" est le M'*'""' terme du quotient, le premier terme du reste correspondant est

de sorte que le (/<

j^iLi.ic terme du quotient est

(Va — \n)Jo"'-"-K

La loi, ayant été reconnue pour le deuxième et le troisième terme du quotient, est donc vraie pour le quatrième, et ainsi de suite jusfiu'au dernier terme.

12 ALGEBRE SUPEIUKURK.

11. Corollaires du théorème précédent. — Nous allons appliquer les résultais précédents à la recherche de certains caractères de divisihilité, essentiels à retenir au point de vue du calcul.

jo ^m — ^m ggi toujours dUîsihle par X — «, quelque soit V entier m.

En effet, en désignant par R le reste de la division de ^OT — ^m par X — a, on a ici (13)

Quant au quotient, nous l'obtiendrons en appliquante loi qu'on vient de démontrer et en remarquant qu'au dividende tous les termes compris entre les deux termes extrêmes ont zéro pour coefficient. On a ainsi immédiatement

On peut remarquer que ce quotient est homogène en x et en a.

2° x'"^ + a"' ji est Jamais divisible par x — a. En effet, on a, dans ce cas

On pourra donc simplement écrire (6)

z=x"^-^-\-ax"'-'+a'x'

■./« — 2 i^2 j^/rt — 3

ni-\

3° ^'" — a'" n'est divisible par x -\- a que si m est pair.

Le théorème du n" 13 exige simplement que le second terme du diviseur binôme soit précédé du signe — , sans aucune hypothèse sur la valeur de ce second terme. Nous pouvons donc mettre le diviseur x h- a sous la former — ( — a) et appliquer les mêmes règles. Le reste de la division de ^'" — a'" par X — ( — a) est alors

Ce reste n'est donc nul que pour ( — a)'"^a'", c'est-à-dire dans le cas de m pair {Alg. élém., .38).

ALGEBRE SUPERIEURE.

Pour avoir le quotient de la division indiquée, nous remarquerons que l'expression

est vraie, quelle que soit la valeur (positive ou négative) mise à la place de a; elle subsiste donc quand on remplace a par — a. Il vient alors, puisque m est pair.

Si m était impair, le reste de la division serait — 2a'", et l'on aurait

^t ^">i a'"- n'est divisible par x -\- a que si m est impair.

Le diviseur étant ramené à la forme x — ( — a), le reste R de la division qu'on veut effectuer est ( — «)'" + «'". Ce reste n'est donc nul que pour ( — a)'" = — a'", c'est-à-dire dans le cas de m impair.

Si, dans l'expression de la division de x'" — a'" par x — a, on ciiange a en — a en supposant m impaii", on obtient précisément le quotient demandé. On a donc

Si m était pair, le reste de la division serait 2a'", et l'on aurait

X'"-' — ax'

la'" X -^ a

5° x'" — a"' n'est divisible par x'' — a'' nue si m est un multiple de p.

En effet, en effectuant la division, on voit que, dans le premier terme de chaque reste, la somme des exposants de x et de a est toujours m, parce qu'en passant d'un reste au suivant l'exposant de a croît toujours de/->, tandis que celui de x dé-

i4 ALGiLBPvE siiM.iîii.i nr..

croit de la même quantité. Si Ion a m = kp -+- /•, la division devient impossible an moment où l'on parvient au reste

Pour que la division soit possible exactement, il faut et il suffit que ce reste soit nul quel que soit x\ ce qui entraîne la condition /• ^ o, c'est-à-dire m = kp.

Quant à la loi de formation du fiuolient, on remarque que, dans cbaque terme, la somme des exposants reste égale à ,)i — p et que, lorsqu'on passe d'un terme au suivant, l'exposant de j? diminue de/:», tandis ([ue celui de «croît de/>. Quand la division est possible, on a donc

^m fi»i

—x'"-P-\- aPx'"-^P-+- a-Px"'-^i' + ...

xP — aP

+ a"^-'^P xP + a"'-P.

On modifie facilement cette expression lorsque le reste n'est pas nul, et l'on étudie de la mènjc manière les autres cas analogues à celui qu'on vient de considérer.

ALOEBBF, SUPEKlFUIiE.