CHAPITRE II

DES POLYNOMES IDENTIQUES. — VÊIUFICATION DES FOUMULIiS ALGÉBRIQUES.

Conditions d'identité de deux polynômes.

15. Lorsque deux expressions algébriques A et B, coiilenanl des lettres a, b, c, . . ., demeurent égales, quelles que soient les valeurs attribuées à ces lettres, ces expressions A et B sont dites identirjues.

En particulier, lorsque deux polynômes, entiers par rapport à X, restent égaux, quelle que soit la valeur attribuée à x, ils sont identiques

Un polynôme entier par rapport à x est la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux anli'es polynômes, quand il est identique h. la somme, à la différence, au produit ou au quotient effectif de ces deux polynômes.

IG. I. Lorsqu'un polynôme P, entier par rapport à x et de degré m, s'annule pour plus de m valeurs différentes de x, il est nul, quel que soit x, c'est-à-dire identique à zéro ou identiquement nul.

Supposons d'abord que P s'annule pour les valeurs a, b, c, . . ., l, en nombre égal à m, substituées à ^. P sera alors divisible séparément par chacun des binômes x — a, x— b, . . ., X — / (13), et nous pourrons d'abord écrire

Q, étant un polynôme entier par ra|)port à .r et de degré m — i. P s'annulant pour x ^ b, ci b — a étant différent de zéro, par hypothèse, on a Q, =;o pour ^= ^. Par suite, en vertu du théorème rappelé, on peut écrire

(O ALGEBRE SIPEIUELTIE.

O2 étant un polynôme entier par rapport à :r et de degré m — 2. En répétant le même raisonnement, on pourra poser les égalités successives

O3 =Qi (jc — d).

0,„ est indépendant de x, puisque son degré, par rapport à x, est m — m ou zéro.

Si l'on multiplie membre à membre toutes les égalités obtenues, il vient, en simplifiant,

Nous retrouvons ainsi un tbéorème important déjà démontré {Alff. élém,, 5o), savoir : Lorsqu'un polynôme entier par rapport à x s'annule lorsqu'on remplace x par des quantités dijf créâtes a, h, c, .... /, il est dicisible par le produit des binômes x — a, x — b, x — c, . . ., x — l.

Cela posé, admettons que le polynôme P s'annule pour une (;,î l i)ièmp valeur de x, dijfé rente des pvécédenles a,b,c,...,l; le second membre de l'égalité (1) sera aussi nul, sans qu'aucun des facteurs binômes qu'il contient devienne nul. Il faudra donc qu'on ait Q„i = o et, par suite, P = o, quel que soit X.

17. n. Lorsqu'un polynôme V, entier par rapport à x, est identiquement nul, tous ses coefjicients sont nuls.

Soit

P = Ao + \ 1 r + A^.r^ -t- A:;.r^ -f- . . . + A,„ x'"

un [tolynôme de degré m qui s'annule pour plus de m valeurs de X, et qui est, par suite, identiquement nul (16). Ce polynôme étant nul, quel que soit x, est nul pour xz=^o.

Il en résulte

Ao = o.

On peut alors écrire

P = ^ ( A, + A2^ -+- A:,^^ + . . . -H A„, .r"»-i). P étant nul quel que soit x, la parentbèse du second membre

ALGÈBRE SrjPÉRlEURE. I"

fle l'égalité précédente satisfait à la même condition. On a donc, en y supposant ^ := o,

A,=rO.

On prouvera de même (ju'on a

A2=:0, A:jt=0, ..., A„,= 0.

18. m. Lorsque deux polynômes, entiers par rapport à x et de degrés m. et n{m'>n) en x, sont égaux pour plus de ni valeurs de x, ces deux polynômes sont égaux, quel que soit r, c'est-à-dire qu'ils sont identiques; en d'autres termes, ils ont même degré et les mêmes puissances de x y sont affectées des mêmes coefficients.

Soient les deux polynômes

I' = An 4- A , j? + A.,.t- + . . . -h A„ X" + . . . + A,„ X'", (J = |J„ 4- li , X 4- H, z - -V . . . + B„ x'\

Formons leur différence

r — O ^ A, - Uo-H ( A, — 15, ).r + ( A, - \\.,),t- + . . . + (A„-B„).r'' + ...+ A,„^'«.

1* et Q étant égau\ pour plus de m valeurs différentes subsliluées à X, leur différence P — Q sera nulle pour plus de m valeurs de x; elle sera donc un polynôme identirpiement nul, ayant tous ses coeflicients égaux à zéro (17). Il en résulle évidemment

A„ = Ii,„ A, = lî,, A, = lî„

et le théorème énoncé est démontré.

19. Remarquons rpie si les deux polynômes P et Q étaieiil de même degré m et (pi'on eût A,„= H,„, il suffirait, />o;//- /e///identité, qu'ils fussent égaux [)Our m valeurs différentes suhstituées à x. En effet, leur différence P — Q, de degré m — i , serait alors nulle pour plus de m — i valeurs difféi-entes suhsli tuées à X.

20. IV. Si deux polynômes, entiers par rapport à fin nombre quelconque n de variables indépendantes x, y, z, . ..,

Uk C. — Cours, m. a

l8 ALGÈBKE StrÉIUEUllE.

sont égaux pour plus de m groupes de valeurs différentes de ces variables {en désignant par ni le degré le plus élevé obtenu en ordonnant ces polynômes par rapport à l'une desvariables), ces polynômes sont identiques, c' est-à-dire q u ils ont même degré et mêmes termes.

Comme ce théorème a été établi (18) dans le cas d'une seule variable x, nous allons prouver, par un tour de démonstration bien connu, que, si le théorème énoncé est vrai dans le cas de n— i variables, il l'est encore dans le cas de n variables.

Admettons que x soit la variable ordonnatrice répondant au degré le plus élevé. Les deux polynômes considérés seront de la forme (m > m')

AoM- A,.r-+- A,.r--h A:,.Hh-. . .-f- A„,.r'",

Comme ils sont égaux pour plus de m groupes de valeurs distinctes des variables, ils sont égaux pour plus de m valeurs distinctes de x. On aura donc, à la fois (18),

m ^z m' et Ao=I{o, A,=:;n,, A.^^B^, ••-, A„,= ij,„.

Ces égalités ayant lieu pour plus de m groupes de valeurs distinctes des n — i variables/, s, . . . , les relations précédentes sont, par hypothèse, des identités, et le théorème énoncé est démontré.

21. V. Pour que le quotient de deu.v polynômes, entiers par rapport à x, soit indépendant de x, il faut et il suffit que les deux polynômes soient de même degré en x et que le rapport des coefficients des mêmes puissances de x dans les deux polynômes soit constant.

Considérons, en effet, le quotient

Ag-h A, j: -h kiX- -^ \^x'^ -h ■ . . -î- \,„^"'

Bo+ B,.r -h B,.r'--h 63^^ + . ..+ B,„x"''

Supposons, pour un instant, m>m' ci a;hiietlons que ce f]iiotient, que nous désignerons par^, soit indépendant de a-; on aura {Alg. élém., 40)

Ao-i- AiJ:.--1- Aa-i^^-î-. . . + k„,x"'

= (7[B„ + B. .r 4- iî,,r-^ -^ . . . + B,,.r"'' ],

et cette relation sera satisfaite quel que soit oc, donc par plus de /« valeurs de x. Il en résulte (18)

Ao=Bo^, Ai=:B,7, K.^=^^q, ..., A„, = B,„q,

c'est-à-dire

Ao -'^i . '*2 A,ra

Bn Bi B, B„,

Réciproquement, si celte condition est satisfaite, on en déduit, quel que soit x

Bo~ B,.r ~ B,a-^ ■ B,„^'« " "

ou bien {Alg. élém.. G'.i)

Ap-h A,cc-h \oX^ -H As-j?^ -h ... -I- A„, -x'" Bo-l-B,^H- 132^7-+ B,^^' -h. .^-B,„.7■"' ~ '^*

Le théorème III (18), sur lequel nous venons de nous appuyer, ayant été étendu (20) à un nombre quelconque de var'iables x, y, z, ..., la même extension a lieu nécessairement pour le présent théorème V, et nous pouvons énoncer, sans démonstration, le théorème général suivant :

22. VI. Pour que le rapport de deux polynômes entiers en X, JK» -S, • . . soit indépendant de ces variables, il faut et il suffit que ces deux polynômes soient de même degré et que les coefficients des termes composés de la même manière en x, y^, z, . . ., dans les deux polynômes, soient proportionnels.

Vérification des formules algébriques.

2.3. Les théorèmes précédents porniotlent de vérilier, plus ou moins facilement, régalité ou ridentité de deux expressions algébriques.

Il y a deux cas à distinguer :

Pour vériiier une équ;ition entre quantités arbitraires, f'e<t-à-dire |)ouvanl recevoir des valeurs quelconques, il sullit de chasser les dénominateurs et de constater ensuite

;>.0 ALGÈBRE SUPÉRIF.URF..

(]iie les deux membres de l'équalioii sont composés de termes identiques (20).

Lorsque les quantités qui entrent dans l'équation à vérifier ne sont plus arbitraires, c'est-à-dire sont liées entre elles par certaines relations ou équations de condition, il faut se servir de ces équations pour éliminer un pareil nombre de ces quantités. Les autres demeurent arbitraires, et Ton renlie dans le premier cas.

2i. Nous allons donner quelques exemples : 1° Vérifîer l' égalité

/jVy2 - {p^qf Xp"- "^ q-J ^ <p ^ q)' \p q)

Un cliasstTd les dénominateurs en mullipliant les deux memljres de celto ('•;.'alit6 [>ixr p^q-{p -\-qy. H \ient alois

(p^(^y=(p-^(j)^ (ji H- pi ) -t- -^(p.jî -^ p2 q )

ou

(p -T- q )•'' = p^ -i- ip- q -r- ipq- -i- 7^,

ce qui est une identité.

2° 0/i donne les équations de condition

et l'on demande de vérifier l' égalité

^Art ^ >J^ -1- y/iJc -4- /D7(f = /( A -4- B + C -+- D ; (a -!- ^ -f- c -,- d). Nous déduirons des éijui;! lions de conditi(jn

d'où, en substituant dans l'équation à vérifier et en remplaçant dans le

premier terme du premier membre Aa par l'expression identique - a

el. dans le second membre, A par -a.

ALGEBRF. SUPER IKURE

c'est-à-(iire (^/ij-. éle'm., 223, 3°)

sJ->

-^- b -T- c -{- dy-,

ce qui est une identité.

3° T érifer la jorinulc

(fic-l (j.ic sciil l'en fier n.

Si nous faisons « = i, la formule est satisfaite. Nous n'avons doncplus qu'à montrer que, si elle est vraie pour une valeur quelconque fie //, elle est encore vraie pour cette valeur augmentée de i.

Si nous remplaçons dans la formule n par « h- i, il vient

.3+ .:.+ 3^^-. . .^ «3+(, ^ , ,.^ j^liiZll^^irJl^

11 f;iut, par suite, sia:|)leiiiont [u-ouvei- que

c'est-à-dire ou

ce qui est une identité.

La formule est donc vérifiée.

ALGERRE SUPERIEURE.