G II

Ajoutons la première colonne à la deuxième et retranchons ensuite la

ALGEBRE SUPERIEL'KE.

deuxième colonne ainsi modifiée de la troisième colonne, ce qui est permis (S7); nous aurons

En ajoutant maintenant respectivement la deuxième ligne à la première et à la quatrième, et en ajoutant cette même deuxième ligne, multipliée par 4, à la troisième ligne, il viendra successivement (ol)

Retranchons de la deuxième colonne du dernier déterminant la troisième coI(inne, multipliée par 4 ; puis, retranchons également une fois la troisième ligne de la première ligne et deux fois celte troisième ligne de la deuxième; puis, enfin, ajoutons trois fois la première ligne à la troisième : nous aurons successivement, en appliquant toujours le théorème du n° 51 aussitôt que cela est possible, les résultats ci-après :

65. On peut, sinon simplifier les calculs, du moins éviter tout essai et tout làlonnemenl, en appliquant un tliéoième que nous allons démontrer et qui résulte immédiatement des propriétés générales des déterminants.

On peut toujours ramener un déterminant donné à présenter une ligne ou une colonne composée d'éléments tous égaux à l'unité.

Prenons, par exemple, le déterminant du troisième ordre

«1 bx c, a-i bo Co a-i b, €■,

Cherchons le plus petit commun multiple des éléments de

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 4q

la première colonne. Soit m ce plus petit commun multiple. On aura

Multiplions respectivement les trois lignes du déterminant par les quotients q^, q^, q^. En désignant par A sa valeur, il viendra (5V)

?n b.2 q.2 C.2 q.2 m b%qz c^q^

q^q-iq^

bzqz C^q^

ce qui justifie l'énoncé.

En retranchant successivement la première ligne des autres lignes, on arrive ensuite immédiatement (51) au déterminant mineur d'ordre moindre d'une unité, auquel on peut appliquer la même transformation s'il y a lieu.

On aurait, pour le déterminant précédent,

q\'hJh m

'hq-i^i

I b^q^ c^qi

O biq.— biqi C^qi—Ciq^

o b^q^— biqy c^q^—c^q^

{ib^q^—b^q,){c^q^ — c,q^) — {c,q^ — c^q,){b^q^—b^q,)\

66. Appli(iuous ce procédé au déterminant déjà calculé au n" 64.

Le plus petit commun multiple des éléments de la première colonne étant 120, on multipliera respectivement les quatre lignes du déterminunt par les nombres 40, 20, 12, i5. On a ainsi, pour sa valeur,

120 5so 680 160

I 555 690 iG5

De C.

Cours. III.

OO ALGEBRE SUPERIEURE.

En retranchant la troisième ligne des autres lignes, le déterminant devient successivement