Soit le déterminant
a, bi c, ... Il \
la
bn
In
On veut l'écrire, en l'ordonnant effectivement suivant les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne. Choisissons, par exemple, la ligne a. Nous aurons, d'une manière générale (48), pour la valeur du déterminant,
(l) A = Aa«a-t-Ba/-'a-f-CaC« + . . .+ La/a.
Dans cette expression, les coefficient., A^, Ba, Ca, . -, Lisent les déterminants mineurs de première classe qui correspondent successivement à la suppression de la première, de la deuxième, de la troisième, . . ., de la /i'^""= colonne, combinée avec la suppression de la ligne considérée de rang a. (49).
Pour former ces déterminants mineurs, il est commode d'opérer comme il suit.
Faisons monter la ligne a au premier rang, en la permutant successivement avec les lignes précédentes; nous changerons chaque fois le signe de la valeur du déterminant (46). Pour conserver à cette valeur son véritable signe, il faudra donc aussi chaque fois multiplier le déterminant par — i. Le nombre des échanges effectués étant a — i, le facteur multiplicateur sera finalement (— 1)='-'* ou, ce qui revient au même, (— i)^"^', puisque (— i)- = i . On peut donc écrire
I ^a b'x Ctx ... Irj,
Ûf(Ya 1 Orl-L.\ Co(J.l
4 4 ALGECEK SUPKUIKURK.
Mainlenanl, supposons nuls tous les éléments de la ligno y. (amenée en tète), à l'exception du premier a^. D'après la formule (i), la valeur du déterminant se réduira d'une part à
D'autre part, on aura, pour cette valeur (51),
rtx O O
«, èo c
Ca-1
6aVi
Ca-i-i
En comparant les deux valeurs de A, on a donc
On trouve Ba d'une manière identique, en remarquant seulement que, pour faire passer à la fois au premier rang la ligne a et l'élément h^, il faut une permutation de plus entre la première et la deuxième colonne; il faut donc aussi faire croître dUine unité l'exposant du facteur multiplicateur. On a, par
ALGEURE SUPEIUEUHE.
conséquent,
(li c, . . . Il
ûo C.2 ... 4
On forme de même l'expression de C^ en faisant croître encore d'une unité l'exposant du facteur multiplicateur, puisqu'on doit opérer une permutation de plus entre la première et la troisième colonne, et en faisant suivre ce facteur du déterminant mineur obtenu en supprimant, dans le déterminant primitif, la ligne a et la troisième colonne qui se croisent sur l'élément c^.
La loi est évidente. On voit que les coefficients obtenus sont alternativement positifs et négatifs, ou inversement, suivant le point de départ, et que la formation ell'ective d'un déterminant peut toujours être ramenée à celle de déterminants mineurs de plus en plus simples.
60. En appliquant l'algoritlime qu'on vient de démontrer au déterminant du troisième ordre, ordonné suivant les éléments de la première ligne^ on a
c'est-à-dire en faisant a = i dans les résultats du numéro précédent,
On a eiïectivenient
Cs
= (t-ib-i— biCt-i.
A = «1(6203— c^bi) — /^(«2<^3— Cîffj) -h Ciia^b^— b^jii) ■=z «1 b.c-i — aiC.ibi-\- Cifubi — bir/^c-^-h b^c^K^ — Cj b-iO..
46 ALGÈBRE SUPÉRIELRE.
Le déterminant du quatrième ordre, ordonné suivant les éléments de la première ligne, peut de même s'écrire immédiatement
bz
Ct
bz
Cz
bz
dz
ffi
bi
dz
az
Il ne reste plus qu'à effectuer, comme nous venons de le faire, les déterminants mineurs qui sont du troisième ordre.
61. Voici encore deux autres exemples. Le premier déterminant est ordonné suivant les éléments de la première colonne; le second, suivant les éléments de la première ligne.
xy' — yx' -+- x-'y" — y'x" -+- x" y — y" x.
A(A'A''— B^) - B'IB'A"— BB') + B'(B"B — A'B') AA'A'+ 2BB'B"- AB^- A'B'2- A"B"-.
Le déterminant qu'on vient d'ellectuer, et qui joue un rôle important dans la théorie des surfaces du second degré, est un déterminonl symétrique. On appelle ainsi tout déterminant dans lequel les éléments conjugués, c'est-à-dire placés symétriquement de part et d'autre de la diagonale du carré des éléments, sont égaux.
62. L'emploi du déterminant du troisième ordre, dont nous avons donné l'expression au n" 60, étant très fréquent, nous indiquerons encore, pour le former, la règle suivante due à Sarrus.
ALGÈBRE SUrÉRIELIlE. 4?
Ecrivons le déterminant, en répétant à sa droite ses deux premières colonnes. Nous aurons le Tableau
«I è[ c, «1 bi
«0 ^o Cl «., Z'.,
On voit alors que les iermQs positij s du déterminant
{a^b-yC^, biC^Os, c^a^bz)
sont donnés par les diagonales complètes qui descendent de gauche à droite, et les termes négatifs
(bia-iC-i, aiC.bi, c^b-^a^)
par les diagonales complètes qui descendent de droite à gauche.
Calcul de la valemr d'un déterminant.
63. Pour calculer la valeur d'un déterminant, on peut toujours employer la méthode générale indiquée au n° 58; mais on arrive souvent plus rapidement au résultat en cherchant à ramener directement, à l'aide des théorèmes précédemment démontrés, le calcul du déterminant proposé à celui d'un déterminant mineur d'ordre moindre d'une unité, et en opérant ainsi successivement jusqu'à ce qu'on parvienne à un déterminant mineur du second ordre. Ce déterminant du second ordre s'évalue alors immédiatement, d'après la définition du n° 3oou d'après la loi de formation générale (58).
Nous avons déjà donné plusieurs exemples de la marche à suivre à cet égard {Alg. élém., 19V, 195, 190). Nous en donnerons encore ici quelques-uns, en entrant dans plus de détails.
C)'t. Cherchons d'abord la valeur du délerminant
