Soit encore le déterminant symétrique

On voit qu'en ajoutant les trois dernières lignes à la première, tous les éléments de la première ligne deviennent égaux à la somme x-\-j -\-z. Le déterminant admet donc cette somme comme facteur (oi).

De même, en ajoutant successivement à la première ligne la deuxième, la troisième et la quatrième ligne, et en retranchant chaque fois du résultat les deux lignes restantes, on trouve aussi successivement, comme cléments de la première ligne,

±{y^z — x), d=(.r + 3— j), ±i{x-hj — z).

Le déterminant proposé admet donc encore comme facteurs les sommes

Comme ce déterminant est du quatrième ordre ou du quatrième degré, il ne peut pas présenter d'autres facteurs algébriques que les quatre sommes indiquées. E« désignant par k un coefficient constant, on a donc, pour sa valeur,

Mais chaque ligne du déterminant contenant x dans une colonne différente, l'un de ses termes est nécessairement -h x'' (36). D^ailleurs, en effectuant le produit des facteurs algébriques qui entrent dans A, le terme de ce produit du degré le plus élevé en x est évidemment — x'*. II en résulte, pour la constante /c, la valeur — i, et l'on a finalement

ALGEBRE SUPERIEURE.

On poiil remarquer q'je —A est égal à seize fois le carré de l'aire du triangle, dont les trois côlés seraient x, y, z {Trignn., 171). ,

69. Pour terminer ces exemples, nous cludierons le déterminant du

abc.

rt»

in-l

in-l l)n-\ t-ra-l .

Ce déterminant est formé des puissances de degrés o, i, 2, 3, ..., « — i, des n quantités quelconques a, b, c, .... k, l.

Si l'on suppose égales entre elles deux quelconques des quantités qui composent la deuxième ligne, le déterminant présente deux colonnes identiques, et sa valeur devient nulle (i"). Il est donc nécessairement et séparément divisible (13) par tous les facteurs ou par toutes les différences binômes qu'on obtient, en retranchant successivement de l'un quelconque des termes de la deuxième ligne tous les termes qui le suivent dans cette même ligne.

Le produit de toutes ces différences constitue d'ailleurs le polynôme P représenté ci-dessous :

P ={a — b)(a — c){a — cl). . .{a — k){a — l)

x{/i — k)ih — l}

Le degré de A, comme on le voit facilement par son terme principal, est égal à la somme des (n — i ) premiers nombres

^-''- {Jlg.élem., 330);

c'est aussi, évidemment, le degré de P.

Comme P divise exactement A, d'après ce qui précède, et qu'ils sont de même. degré, ils ne peuvent différer que par un facteur constant qui reste à trouver.

Pour déterminer ce facteur, il suffit de comparer deux termes de A et de P formés respectivement des mêmes puissances àe a, b, c, . . ., k, l, c'est-à-dire se correspondant dans les deux développements. Le rapport de leurs coefficients sera la constante cherchée.

Le terme principal du déterminant A est

et il a pour coefficient l'imité.

Le terme correspondant du polynôme P est, en considérant les colonnes verticales,

et il a pour coefficient

{n-\)n ( jjlt-2+3H +(«-2)H-(7l-l) = / l) 2 .

On a donc

=tp,

(n — I ) " suivant que ^ — est un nombre pair ou impair.

ALGEBRE SUPERIEURE.