Nous allons vérifier ce théorème en supposant n = 3 et

, «jaa + ^2 3:3 -r- c-iy-i

2 «3^3 + b3p3+ Csys

«3 Ps y-i

nous allons montrer que le déterminant

«,a, + Z>i;3, + Ciy, «1 «2 + ^1 [3o 4- Cl y «a^i -f- ^2i3i H- Cayi «2 «2+ ^2,32 + Cîy-i r^y-i-i- bi^i^Csyi azci2 + b.i^2 + (^iyest bien le produit des deux déterminants «1 6, Cl I

En effet, d'après le théorème du n° 58, on peut commencer par décomposer le déterminant R en trois déterminants, en prenant successivement, au lieu de la première colonne, cliacune des trois colonnes partielles qui la constituent et en conservant les deux autres coloimes composées. On pourra opérer de même sur les trois déterminants obtenus, en décomposant également leur deuxième colonne en trcis colonnes partielles, ce qui donnera en tout neuf déterminants. Enfin, en opérant encore de même sur la troisième colonne de ces neuf déterminants, on verra finalement que le déterminant R est la somme de vingt-sept déterminants à colonnes simples.

On voit par là d'une manière générale que si, dans un déterminant, chaque élément est la somme d'un certain nombre de termes tels que chaque colonne puisse se l'ésoudre en colonnes partielles, la première en m colonnes, la deuxième en n colonnes, la troisième en p colonnes, etc., le déterminant proposé est égal à la somme de tous ceux qu'on obtient en prenant successivement, dans le déterminant proposé et dans les déterminants qui en dérivent, au lieu de chaque colonne composée, l'une des colonnes partielles qui la constituent, c'est-à-dire, dans le cas indiqué, à la somme de mup... délerminanls simples.

Revenons à notre vérification.

Le déterminant R étant la somme de vingt-sept déterminants, si l'on prend ensemble les premières, ou les deuxièmes, ou les troisièmes colonnes partielles des colonnes composées, on en a évidemment trois de la forme

«iCZi a, «2 «^i^s a.^y.i «3^2 «3=^3

ai», ^"^3

a, (Xi «3

ALGEBRE SUPERIEURE.

En prenant successivement deux colonnes partielles de même rang dans deux des colonnes composées et en le? associant avec une colonne partielle de rang différent prise dans la colonne composée restante, on a dix-huit déterminants de la forme

fl'l«2

bx%

= «1^2 (Sa

= o (oi, 47)

Il ne reste plus que sia; déterminants qu'on obtiendra en prenant une colonne partielle de rang différent dans chaque colonne composée de R, et qui seront successivement

bi^i

Cl 73

Cl 72

a^cf-i

Cl 73

b^Px

&.Pi

Cl 72

b^Pt

Ci7i

aia2

^iSs

Cayi

csyi

^si^s

Cs'/i

= — (3ia27a

= yi

c'est-à-dire qu'on a finalement

X (ai|3273 — a,72 33+yia2[33— (3,a,7,+ p,72 2<3— 7if32a3)