PQ

72. Il est utile de remarquer, en reprenant le théorème (lu n" 70, qu'on ne change pas les valeurs des déterminants P et Q en échangeant dans ces déterminants les lignes et les colonnes. Il y a donc quatre manières différentes de former leur produit R.

Soit, par exemple, les deux déterminants du second ordre

On aura, l'ordre adopté dans la multiplication des lignes no faisant qu'échanger les lignes et les colonnes du résultat (i5),

rt,a

aja

b^cf.^-\- b^i^^

«'ij3i-f- 6,,32

«îOCi

rt,,3,H- a2[32

Les quatre déterminants, obtenus dans les seconds membres des équations précédentes, représentent tous

R = (a,62— 6,a2)(a,[3.,— .S.aj) [70, 39].

73, Si le second déterminant Q est égal au premier P, on a

Le carré d'un déterminant est donc un déterminant de même degré, et il en est de môme de toutes les puissances entières d'un déterminant.

Comme on peut échanger dans P, sans modifier sa valeur, les lignes et les colonnes, il y a trois manières différentes de former son carré P^

6o ALGÈBRE SCPÉRIEURE.

Soil, par un exemple, le déterminant du second ordre On aura, en ne confondant pas les exposants avec des indices,

-hbyb^ 1

èi

«^ + ^lO,

«1 ^1 + ^1 bi

a^by -\- b\

aibi -+- a^b^ |

+ bl

D'après la première et la troisième forme, le carré de P est un déterminant 5}v?ze7/7Vy«e (61) : cette propriété est générale.

74.. Nous avons supposé jusqu'ici les déterminants P et Q de même degré.

Si ces deux déterminants sont de degrés différents et si Q est d'ordre moindre, on n'aura qu'à transformer Q en un déterminant de même degré que P (51) et à appliquer la règle précédente (70).

Si l'on donne, par exemple, les deux déterminants

ay Oy Cy

a^ b.2 c, Oz 63 c-i

on remplacera le second déterminant par le déterminant identique (51)

où les quantités y.^ et ^3 resieront arbitraires. Le produit des deux déterminants prendra la forme

ayV.y^ by'^y a y y.^-\- b y'{:)^ flj CZ3 + ^^ 1 fSj + Cj

a^y.y-^ bipy «,«2+ ^21^2 «2^3+ ^2 [33 4- C2

a^ay+b^'^jy Osa, -h 63 i^, «3«3+ ^3[33+ Cj

ALGEBRE SUPERIEURE.

75. Dans tout ce qui précède, nous n'avons considéré que des déterminants carrés, présentant le même nombre de lignes et de colonnes.

On peut être amené à considérer, nous ne dirons pas des déterminants, mais des tableaux rectangulaires, où il n'y a plus égalité entre le nombre des lignes et celui des colonnes.

La notation des éléments reste la même, et Ton peut, pour distinguer ces tableaux rectangulaires des déterminants carrés ou des déterminants proprement dits, doubler les traits verticaux qui les limitent.

76. Nous allons étendre succinctement le théorènie de la multiplication de deux déterminants (70), en considérant deux pareils tableaux rectangulaires formés de m lignes et de n colonnes ou de inn éléments, et nous poserons

ai a\ al

bl.

Formons alors, comme au n'>70, le délerminantdesm^ quantités analogues à

et posons

Cln

CJn

a}bl + aj bl + a]bl-^. . .-^ a'ibl,

i" Si m ^ n, on retombe sur le théorème du n» 70, et l'on a R = P,Q..

2» Si m est > n, le terme principal de R est

c\c\c\... c = 2«a^al ...a^;,b-b{lii...b^;:),

et, en reprenant l'analyse du n^ 70, on voit que les indices supérieurs a, (3, y, . . ., p., en nombre m, devant encore varier

62 ALGÈBRE SUPÉraEURE.

depuis I jusqu'à n, deux au moins recevront toujours des valeurs égales. On a donc nécessairement

3° Enfin, si m est < n, les indices supérieurs a, (3, y, . . . , [i, en nombre m, pourront toujours recevoir des valeurs inégales choisies dans la suite i, 2, 3, ..., n, et cela autant de (ois qu'on peut établir de combinaisons avec n objets pris m à m ou un nombre de fois représenté par {Alg. élém., 409)

Pour chaque système de valeurs attribuées ainsi aux indices a, [3, y, . . ., fx, on aura à considérer m colonnes du tableau Q-, et m colormes correspondantes du tableau Pj, formant respectivement deux déterminants Q et P. On aura donc évidemment

le signe 2 embrassant tous les produits PQ qui répondent aux systèmes de valeurs qu'on peut donner aux indices a, |3, V, ..., IJ..

11. Quelques exemples ne seront pas inutiles pour bien éclaircir ce qu'on vient de dire :

1° Soient d'abord les deux tableaux rectaii'julaires

ai bi

«3 bs

On a ici m = 3 et « = 2. Le déterminant R, qui a pour expression (76) «1 7.1 -H bi 3i «1 a2 -i- bi ^^2 c/i a;, + bi '^3

«s^ti-^-^api «a 2t2 -(- ^3 ?2 «3^3+ ^3^3

doit donc être nul (76).

On peut, en effet, le décomposer (71) en /ucit déterminants simples, se partageant en trois groupes.

Deux sont de la forme

a^ot-z

rtaa.

ALGEBRE SUPERIEURE.

Trois sont de la forme

OiOLi a.2<x.2 b.2^3

Les trois derniers sont de la forme

«!«! ^1^2 ^1^3 a^Oit ^2^2 ^2^3 «3 ai 1^3^.2 ^3^3

IXiIXi^S

ai «1 bi 02 a^ h 2 «3 «3 ^3

fl'2

Co II

2* Soient encore les deux tableaux rectangulaires

«1 ?i Ti I

On a ici m = 2 et // = 3. Le déterminant H, qui a pour expression (76)

<7iai -f- ^1 pi H- ClYl <^'ia2+ ^1^2 H- Cl Y2 rto a, -+- /^2 Pi -i- C2 Yi «2 a2 -H Z'2 P2 -^ C2 Y2

doit donc être égal à la somme d'autant de produits de déterminants du second ordre qu'on peut faire de combinaisons avec trois colonnes prises deux à deux (76), c'est-à-dire à la somme des trois produits

«1 bi ai b^

ïl

c'est ce qu'il est facile de vérifier (39) en niellant le déterminant W sous la forme

(«,62— ^l<^2)(«lp2— Pl3t2)

-^ (a, C2 — C,<22 )( «1 Y2 — Yl ^2 ) + ( ^1 C2 — C, ^^o )( ^1 Y2 — Y" h)-

3° Soient enfin, pour terminer, les deux tableaux rectangulaires identiques

«1 bi c,

2^1 pi Yi

«i pi Yi

On a encore, dans ce cas, m = a cl « = 3. Le déterminant H, qui a pour expression (76)

I a\-\-b\-\-c\ «Ji^i-f-zOïPi -1-CiYi

I rti«i-+-^ipi-+-CiYi ^•!+Pi-^-ïî

t)4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

sera donc la somme des trois produits ou carrés

Oa doit donc avoir (39)

2tl

ïl

«I^l + ^IPI ^1 + ïl

/y,pi + CiYi Pf + Ï?

(«i + />î-cf)(a?-i-p? + Yî)-^«i^-i+/''i?i + c,Y,/^

= («f4-if)(af + 3j) — (rtiai-i-Z*i5ij2

+ («ï-^c|)(a?+Yî)-(«i^i + CiYi)2 + (/;2H-cfK?f + ï?)-(6.?i+c,Y,)^

On en déduit immédiatement l'identité bien connue

(rtf + 6f + cf K^f + ?i -^ Yi^ — («i^fi-^^iPi + ciYO^

= («1 ?! — ^1 =^1 ;--+-( Cl ai — «1 Yi)24-(6i Yi — Cl 3,)2.

78. Les propositions précédentes (70, 76) constituent dans leur ensemble un théorème général, auquel on donne souvent le nom de théorème de Binet et Calxhy, parce que ces deux savants y sont parvenus en même temps, en partant de cas particuliers examinés par Lagraxge et Galss (voir Journal de l'École Polytechnique, XV1<= Caliier, p. 284, et XVIP Cahier, p. III).