VA "'/A
Puisqu'on a toujours (i)
Ar
on a aussi (13i)
^xB,
d'où
136. III. Pour élever un radical à une puissance, il suffit d'élever à cette puissance la quantité placée sous le radical.
En effet, élever "\fk à la puissance p, c'est faire le produit de/> facteurs égaux à "ij S.. On a donc (133)
137. IV. Pour extraire une racine d' un radical, on extrait cette racine de la quantité placée sous le radical, ou l'on multiplie l'un par l'autre les deux indices considérés.
Il faut démontrer qu'on a
vVÂ=v7Â = '"v/Â.
En effet, on a démontré en Arithmétique que, pour élever une puissance à une autre puissance, il suffit de multiplier
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Il5
les exposants des deux puissances. On a, pai- exemple,
{a'")P— {aP)"'=a'"P.
Il en résulte que, pour élever a à la puissance mp, on peut indifféremment commencer par élever « à la puissance m, puis le résultat à la puissance/?, ou faire l'inverse.
Par conséquent, si l'on élève les trois expressions (i) à la puissance mp, on trouve A, et ces trois expressions sont bien égales comme représentant chacune la racine mp'^"'° d'une même quantité A.
Comme nous l'avons montré en Algèbre élémentaire {Al^. élém., 7G), ce théorème permet de simplifier l'extraction des racines numériques, lorsque leur indice ne renferme que les facteurs premiers 2 et 3.
138. On ne change pas la valeur d'un radical en multipliant son indice par un certain nombre, poun'u qu'on élève à la puissance marquée par ce nombre la quantité placée sous le radical.
Si l'on divise l'indice par un certain nombre, on doit, au contraire, pour ne pas changer la valeur du radical, extraire de la quantité placée sous le radical une racine marquée par le diviseur employé.
Ce double énoncé résulte immédiatement du Ihéorènie précédent (137). On a, en effet,
'\/Ap= s V-V^ V-^-
On peut donc simplifier Vexpression d'un radical, en supprimant les facteurs communs à l'indice de ce radical et à l'exposant de la puissance qu'il recouvre.
On peut aussi réduire plusieurs radicaux au même indice, en suivant une marche analogue à celle qu'on emploie en Arithmétique pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur ou au plus petit dénominateur commun (Arithm., 191, 192). C'est ce que nous avons montré en Algèbre élémentaire (Alg. élém., 11).
139. Pour multiplier ou diviser des radicaux d'indices différents, on les ramène d'abord au même indice, puis on applique les règles précédentes (133, 13o).
Il6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Des exposants fractionnaires.
liO. Puisqu'on peut diviser par un même nombre l'indice d'un radical et l'exposant de la quantité qu'il recouvre (138), il est permis d'écrire
mp
La fraction — ^ a pour numérateur l'exposant de la quantité
placée sous le radical et, pour dénominateur, l'indice de ce radical.
La forme fractionnaire de l'exposant n'entraîne ici aucune remarque, puisque celte forme fractionnaire correspond à un quotient entier; mais il y a avantage évident ou, pour mieux dire, le caractère de l'Algèbre conduit nécessairement à étendre, par convention, cette notation, au cas même oii Vexposant de la quantité placée sous le radical n'est pas diiisible par l'indice du radical.
En effet, les règles relatives au calcul des quantités affectées d'exposauts, qui ont été démontrées en Arithmétique {Arithm., 73 et suiv. ), exigent que ces exposants soient entiers. Mais, en Algèbre, les exposants, eux aussi, peuvent être représentés par des symboles généraux:. Il faut donc qu'on puisse supposer ces symboles remplacés par des valeurs quelconques, et d'abord par des valeurs fractionnaires, sans que les règles de calcul soient modifiées, sauf interprétation finale.
Or cette extension sera facilement justifiée si nous admet- Ions convention nellement Véquivalence des deux expressions
\/Â"' et k'p , m et jo étant des quantités entières et positives quelconques.
ni Le numérateur m de l'exposant fractionnaire — indique
alors à quelle puissance on doit élaer d'abord k, et le dénominateur p quelle racine on doit extraire ensuite du résultat A'".
Remarquons, avec soin, que la valeur de la seconde expres-
tn
sion k^ est indépendante de la forme donnée à l'exposaui
ALGEBRE SUPERIEURE. I I J
fractionnaire — {Arithm., 188); il faut donc qu'il en soit Me
même de la valeur de la première expression \/A"'. S'il n'en était pas ainsi, la convention proposée pourrait entraîner ambiguïté et ne serait pas complètement légitime. Or de
P'' P' on déduit
Il faut donc qu'on ait aussi
Si l'on ramène les deux radicaux au même indice (138), i! vient
et, comme d après 1 hypothèse — ^= —-, on a nécessairement
{Arithm., 388)
mp' =z m' p,
les deux radicaux, réduits ou non au même indice, sont bien identiques.
Il est utile d'observer que, pour calculer la valeur numérique d'une puissance fractionnaire, il faut revenir à la forme radicale.
Après ces considérations, il reste à prouver que les règles démontrées dans le cas des exposants entiers {Arithm., 73 et suiv.) s'étendent immédiatement au cas des exposants fractionnaires.
141. I. Pour multiplier deux puissances fractionnaires d' une même quantité, on ajoute leurs exposants.
On a, en effet, d'après les théorèmes précédents et en revenant finalement à la forme fractionnaire
PJ X PJi— \f\^ X yj'' = '"{/ k""i X ÂFp
»>7 -4- np m n
On peut supposer m ou n égal à i,/? ou ^ égal à i.
Ilb ALGEBRE SUPEPiIEU IlE.
142. II. Pour diviser deux puissances fractionnaires d'une même quantité, on retranche leurs exposants.
Avec la restriction — > - > qui sera levée bientôt, et en ope- P 1 rant comme on vient de l'inflifiuer, on a
PJ : A'/ = \J'k"' : v/Â^= "'{ A""': A"/'
niq — n /i m n
On peut supposer m ou n égal à \, p onq égal à i.
143. m. Pour élever une puissance fractionnaire à une autre puissance fractionnaire, on multiplie les deux exposants.
On peut écrire, en effet,
A^) ^Cs,f\^')n=:U\fX^'r
= \ \/( A'" y' = "v/A"'" = A '"? == A/' ^ 7 . On peut supposer m ou n égal à i, p ou q égal à i.
144. IV. Pour élever un produit à une puissance fractionnaire, il suffit d'élever chaque facteur à cette puissance.
On a évidemment
(ABCK = 'v/(AHC)'« = \/A"'B"'C'"
Des exposants négatifs.
14.5. La nécessité de conserver aux symboles algébriques toute leur généralité nous a conduit à admettre les exposants fractionnaires. Nous devons de même admettre les exposants négatifs et chercher l'interprétation dont ils sont susceptibles.
Nous avons vu {Alg. élém., 43) que les exposants négatifs apparaissent lorsqu'on veut appliquer la règle de la division
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. IIQ
des monômes au cas où l'exposant d'une certaine lettre est plus faible au dividende qu'au diviseur.
A'" Soit l'expression -j^- Si m surpasse n, on en déduit immédiatement
Mais, si m est plus petit que n et si l'on s'en tient à la définition générale des puissances, l'expression A'"-" n'a plus aucun sens.
Posons alors
en désignant par p la différence positive des deux exposants n et m. On peut écrire
On trouve d'aillcui's, en appli(|uant la règle de la division des monômes {Alg. éléni., 41 ),
Il est donc naturel d'admettre ou de corwenù- que les deux expressions
A-^ et ±
sont équivalentes.
Toute quantité affectée d'un exposant négatif revient ainsi à l'inverse de cette quantité affectée du même exposant pris positivement.
Il faut seulement montrer que là notation des exposants négatifs n'impliciue pas contradiction, en ce sens que, si elle est admise dans le cas oîi p est positif, elle subsiste par cela niQ^me lorsque />> reçoit une valeur négative, telle que — p' .
En effet, p' étant positif, on a, par convention.
a~'' = — : ou al' z= —
aP a-
I 20 AIJ;EBRE SUPERIEURE.
c'esl-à-dire, précisément,
al"
Il esL utile d'observer que, pour calculer la valeur numérique d' une puissance négative., il faut revenir à la forme fractionnaire.
Après ces considérations, il reste à prouver que les règles démontrées dans le cas des exposants positifs, entiers ou fractionnaires, s'étendent immédiatement au cas des exposants négatifs.
lie. I. Pour multiplier deux puissance':, négatives d'une même quantité, on ajoute leurs exposants.
On a, en eflet, d'après des théot^èmes connus el la convention adoptée,
A-'« xA-9=-— -x-7- =
147. II. Pour diviser deux puissances négatives d'une même quantité, on retranche leurs exposants.
On a de même
1 ,„ . k-q ^ . __ : . Kq-m —- \(-m)-(-ç)
lis. III. Pour élever une puissance négative à une autre puissance négative, on multiplie les deux exposants.
On peut écrire, en effet.
\mq —^ \(-m)Xi—q) ^
149. IV. Pour élever un produit à une puissance négative, il suffit d'élever chaque facteur à cette puissance.
On a, évidemment,
/\Dp\-/n — ' — ' — ! î ! — \-niTf-mr-m
