THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES
Définitions et notions préliminaires.
loi. On attribue à lorrl Brouxcker l'invention des fractions continues; mais la découverte de leurs principales propriétés et de leurs précieux avantages est suriout due à Hlygens,
La théorie des /radions continues fournit une nouvelle mélliode pour obtenir des valeurs de plus en plus approchées d'un nombre donné, et c'est ainsi qu'elles s'introduisent naturellement dans l'Analyse.
S'il s'agit, en effet, de trouver une valeur approchée d'un nombre X, le plus simple est d'indiquer sa partie entière a. On peut alors écrire, en supposant j plus grand que i,
On peut évaluer alors la partie entière b de / et poser
en supposant z plus grand que 1. Si c est la partie entière de z, et u une quantité plus grande que i; si <i? est la partie entière de u, et v une quantité plus grande fpie i, on a, de même,
ZrzzC-\ et U^=^d-^, .
En remplaçant successivement, dans l'expression de N, les quantités /, s, u par leurs valeurs, on trouve la valeur de N
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
SOUS celte forme particulière :
En conlinuanl les calculs indiqués, deux cas peuvent se présenter.
L'un des nombres y, z, u, c, ... peut être entier. Dans cette hypothèse, l'opération se trouve terminée, et l'on dit qu'on a obtenu le développement exact de N en fraction continue.
Si aucun des nombres r, z, u, v, . . . n'est entier, l'opération ne se termine pas et peut se poursuivre d'une manière illimitée, bien que l'égalité (i) subsiste toujours. Si Ton néglige alors l'une des fractions—» ->->-> •••> cette égalité
devient approximative, et l'on obtient pour N des valeurs approchées qu'on appelle des réduites ou des fractions convergentes.
La première réduite est ici a i en négligeant — ); la deuxième réduite est <^ + 7 (en négligeant - ) ; la troisième réduite est en négligeant - ) ; et ainsi de suite.
Les dénominateurs successifs /, z, u, ... sont des quotients complets, tandis que les nombres b, c, d, ..., qui représentent les parties entières de ces dénominateui's, sont des quotients incomplets. On donne encore le nom de frac-
tiens intc'nantes aux iractions t' -'-,'• • ••
b c II
On voit que les quotients incomplets b, c, d, ... sont des
nombres entiers positifs au moins égaux à i, et que a, seul,
peut être nul si N est un nombre inférieur à l'unité.
152. L Tout nombre commensurable correspond à une fraction continue limitée et, réciproquement, toute fraction continue limitée représente un nombre commensurable.
J 24 ALGEBRE SUPÉKIELTIE.
Soit le nombre commensurable -rr- Divisons A par B : soient
a le quotient et /• le reste. Nous aurons {Arithm., 212, 183), en ramenant à l'unité le numérateur de la fraction complémentaire,
Divisons B par r ; soient b le quotient et r' le reste. Nous aurons de même
On est ainsi conduit à diviser /• par /•', et l'on s'aperçoit sans peine que les opérations à effectuer sont précisément celles que l'on doit faire pour chei-cher le plus grand commun diviseur des nombres entiers A et B. Lors même que ces nombres seraient premiers entre eux, on arrivera donc à un reste qui divisera exactement le reste précédent ou, si l'on veut, à un reste nul {Arithm. y 113), c'est-à-dire que la
fraction continue qui représente le développement de =5 aura
un nombre limité de termes.
Les quotients fournis par l'opération du plus grand commun diviseur font connaître les quotients incomplets b, c, d, ..., et les inverses de ces quotients sont les fractions intégrantes I I I b c a
Réciproquement, soit une fraction continue limitée. Pour démontrer qu'elle représente un nombre commensurable, il n'y a qu'à effectuer, en remontant, sur les fractions intégrantes et les quotients incomplets, les opérations indiquées, et l'on sera nécessairement conduit à une fraction à termes entiers.
Pour fixer les idées, nous prendrons un exemple numérique, et nous supposerons qu'on ait
ALGEIiKE SUPERIEURE. 123
Il viendra successivement
153. II. Tout nombre incommensurable correspond à une fraction continue illimitée et, réciproquement, toute fraction continue illimitée représente un nombre incommensurable.
Celte proposition est la conséquence évidente de la précédente (152).
loi. III. Dans toute fraction continue, les valeurs des réduites sont alternativement plus petites et plus grandes que la. valeur de la fraction continue elle-même : les réduites de rang impair sont plus petites que la fraction continue, les réduites de rang pair sont plus grandes.
Considérons, en etïet, la fraction continue
N = rt H ' j
qui provient des égalités successives (151
Ni=a+^ (/>«), y = b+ - (5 >i),
En prenant a au lieu de N, on néglige la fraction - : on a
donc
En prenant « + r au lieu de N, on néglige la fraction dans l'expression exacte
On diminue donc le dénominateur de la fraction complémentaire, c'est-à-dire qu'on augmente cette fraction : on a donc
En prenant a -\ au lieu de N, on néglige la fraction —
dans l'expression exacte
On diminue donc le dénominateur de la fraction
c'est-à-dire qu'on augmente celte fraction; mais, en même temps, on augmente le dénominateur de la fraction
c'est-à-dire qu'on la diminue elle-même; on a donc
En prenant
ALGÈBRE SUPEiUEUUE. I 27
au lieu de N, on néglige - dans l'expression exacte
On augmente donc la fraction
On diminue, par suite, la fraclion
Cl l'on augmente la fraclion
On a donc
Le même raisonnemenl se poursuivant indéfiniment, la proposition est démontrée.
On peut l'énoncer encore, en disant :
La valeur de toute fraction continue est, nécessairement, comprise entre les valeurs de deux réduites consécuiii'es quelconques.
155. IV. Il en résulte que, da/is toute fraction continue, chaque réduite est comprise entre les deux réduites qui la précèdent immédiatement.
128 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
En effet, lorsqu'on s'arrête à une certaine réduite, on peut admettre qu'elle représente une certaine fraction continue limitée qui est, jusque-là, composée des mêmes éléments que la fraction continue proposée.
Or toute fraction continue, quelle qu'elle soit, étant comprise entre deux réduites consécutives quelconques (loi), la réduite considérée est alors elle-même comprise entre les deux réduites qui la précèdent immédiatement.
136. V. Dans toute fraction continue, les réduites de rang impair forment une série croissante, et les réduites de rang pair une série décroissante.
Considérons la réduite de rang impair T.p -\- \. Elle est comprise (153) entre la réduite de rang 2/? et celle de rang ip — i.
D'ailleurs, les réduites de rang impair sont toutes plus petites que les réduites de rang pair (13V). La réduite de rang ip -hi, moindre que la réduite de rang 2p et comprise entre cette réduite et celle de rang 2/? — i, est donc supérieure à la réduite de rang 2/? — i.
11 en résulte que les réduites de rang impair vont en croissant.
De même, la réduite de rang pair 2/>, comprise entre les réduites de rang 2/^ — 1 et 2/) — 2, étant plus grande que la réduite de rang ip — i, est inférieure à la réduite de rang ip — 2.
Il en résulte que les réduites de rang pair vont en décroissant.
Loi de formation des réduites.
