Soit la fraction continue quelconque

Nous allons calculer les quatre premières réduites et chercher si une loi de formation apparaît.

Première réduite :

a ou -■

ALGEBRE SUPEPiIEUUE. 1 2Q

Deuxième réduite :

I ah -^\

Troisième réduite

abc

Quatrième réduite

I bc -\- 1 bc

— rt -+-

I cd-\- \

cd -h I abcd -h cd -h ad -\- ah -^- i

bcd -\- b -\- d bcd

Eli considérant la troisième et la quatrième réduite, on voit que chacune s'obtient en multipliant les deux termes de la réduite précédente par le quotient incomplet auquel on s'arrête, et en ajoutant terme à terme le résultat trouvé avec la réduite an téprécéden te.

Il s'agit de montrer que cette loi est générale, c'est-à-dire que, si elle est vraie pour trois réduites consécutives quelconques, elle subsiste nécessairement pour la réduite suivante. Comme nous venons de la vérifier pour les trois premières réduites, elle sera alors complètement établie.

Soient donc les trois réduites consécutives

P^ 0 Ji

pour lesquelles la loi est supposée exister. En désignant par / le dernier quotient incomplet qui fait partie de la réduite tt-,^ nous aurons, par hypothèse,

- (Yl-^V

g Pour passer maintenant à la réduite suivante ^5 il suffit

d'observer qu'elle ne diffère de ^r-, que par le changement de

De c. — Cours. III. q

ALGEBRE SUPEPaEUnE.

/en ^H , en appelant m le quolienl incomplet qui vient

après /. On a donc immédiatement

c'est-à-dire

La loi de formation indiquée plus haut est donc générale. D'après cette loi, les numérateurs et les dénominateurs de? réduites forment deux suites indéfiniment croissantes.

158. Pour appliquer cette loi, il faut que les deux premières réduites aient été formées; mais on peut faire rentrer la deuxième réduite dans la règle énoncée, en introduisant en

tête la réduite fictive -• Combinée, d'après la règle, avec la

, , . , . Cl ,, , , . ah -{- \

première réduite ejjective —■> elle donne nien — - — pour

la valeur de la deuxième réduite.

On peut alors employer l'algorithme suivant pour faciliter le calcul des réduites :

ab -t- I b

abc -\- c -\- a bc -H 1

abcd -^ cd -\- ad H- ab

bcd -^ d-h b

Nous disposerons, sur une première ligne horizontale, les quotients incomplets successifs a, b, c, d, . . .; au-dessous, en les reculant d'un rang, nous écrirons les deux premières ré-

duites - et -j et nous n aurons plusqua former successive-

ment les autres réduites d'après la règle, en les écrivant audessous du quotient incomplet qui les termine.

Cette règle consiste (157) à multiplier les deux termes de la réduite précédente par le quotient incomplet auquel on est parvenu, et à ajouter ternie à terme le résultat avec la réduite an téprécédcn te.

ALGÈBRE SLPÉRIEUKE. l3l

159. Il est indispensable de remarquer que les considéralions précédentes permettent d'obtenir, au lieu de la valeur d'une réduite de rang quelconque, une expression exacte de la valeur X de la fraction continue elle-même, quelle qu'elle soit.

En effet, en remplaçant / par /n- — ? nous avons pu passer

(157) de la valeur de la réduite jç, à celle de la réduite sui-

vante k-, • Il est évident que, si nous avions fait la même sub-

stilutioti en prenant au lieu de m le quotient complets qui lui

correspond, nous aurions obtenu, au lieu de la réduite ;^- > la

valeur X de la fraction continue elle-même, puisqu'on peut toujours l'arrêter à un quotient complet quelconque (151). Nous écrirons donc, par exemple,

lU + Q

Propriétés fondamentales des réduites.

IGO. I. La différence absolue de deux réduUes consécutives est une fraction ayant pour numérateur l' unité et pour dénominateur le produit des dénominateurs des deux réduites.

Soient, en eUct,