Il s'agit maintenant de trouver les formules générales

I enfermant toutes les solutions entières de l'équation

( I ) <7 jt- -h by + cz =id.

Soient xr=L y., y=z^, z=iy une première solution entière. Nous aurons l'équation de condition

( 2 ) ac. + b"^ -\- cy ^d.

II est clair que les valeurs suivantes :

.27 = a — bO,

oiî 6» est un entier indéterminé, satisfont toujours à Téqualion (i), comme on peut d'ailleurs facilement le vérifier; car, en les substituant dans celte équation, on retombe sur l'identité (2). Mais il est clair aussi que ces formules ne donneni pas toutes les solutions cherchées, puisque, d'après ce qui précède (201), z peut recevoir une infinité de valeurs entières convenables, et non pas la seule valeur y.

Nous allons démontrer que, si l'on représente par 6' et 6" deux nouvelles indéterminées analogues à B, les formules générales lenfermanl toutes les solutions entières de l'équation (1) sont

(3) r =(3 + a0-hc&", \ z=zy —a&—bB".

Ces valeurs conviennent toujours ; car, en les substituant dans l'équation (i), on retrouve encore l'équation de condition (2). j

Il reste à établir qu'elles ne laissent échapper aucune solu-'> lion entière.

Soient, en effet, x — y.',y — '^', ^r=y', l'une quelconque des

ALGEBRE SUPERIEURE. ibî

solutions entières de l'équation (i). Il faut prouver qu'on peut toujours assi.ner des valeurs entières des indéterminées 6, Q', 6", telles qu'on ait précisément

(4) < S'=[3 + «9 +c6", ou ! — a9 — c9'' = (3— [3', \ y' = y — aQ'-bO", ( aQ'+bB"=y — y'.

On voit facilement que les trois équations (4) se réduisent à deux; car, si on les ajoute, après les avoir multipliées respectivement par les coefficients a, b, c, on a

(5) o = a(y. - 7.' ) + bi^j - S>') -h c{y - y');

ce qui est une identité, en vertu de l'équation de condition (2) et de l'équation aoc' -{- b2>' -+-cy' = d, qui résulte de l'hypothèse faite.

Nous prendrons donc seulement les deux premières équations du système (4),

i be — ce' = oc—(x',

et nous allons mont er qu'elles seront salisfaites simulianément par les mêm .'s valeurs entièies des indéterminées 0, B', 6".

Chacune des équations (6) admet séparément des solutions entières (181); car, d'après l'identité (5), le plus grand commun diviseur de b et de c, si ces coefticients ne sont pas premiers entre eux, doit diviser oxaclcment a — a'; et le plus grand commun diviseur de a et de c, si ces coefficients ne sont pas premiers entre eux, doit diviser exactement (3 -(3'.

Admettons que le plus grand commun diviseur de 6 et de c soit 0, et (|ue 9, et 0\ représentent une solution entière de la première équation (6). Admettons de même que le plus grand commun diviseur de a et de c soit è^ el que O^ et 6\ représentent une solution entière de la seconde équation (6).

Les solutions entières des équations (6) considérées séparément seront alors renfermées respectivement dans les formules générales suivantes, oij ^, et tz désignent deux nou-

r82 ALGÈBRE STJPF.IHKU RE.

veaux entiers indélermioés (182)

(7) ' , el ,

Et il est évident qu'il suffit qu'on puisse trouver des valeurs

entières de t^ et de t^ rendant ifienliques les deux valeurs

entières de B fournies par les équations (7) pour que les

équations (6) soient satisfaites simultanément par les mêmes

valeurs entières des indéterminées B, 6', B".

Nous poserons donc

OU

Or, en substituant dans chaque équation (6) la golulior» entière supposée, B^ et B\ pour l'une, B^ et ô'j pour l'autre, il vient

bB^ — cS'i = oc — a' ,

— aBz-cB\ = ^ — p'.

En ajoutant ces deux équations, après les avoir multipliées respectivement par les coefficients a et b, on a

ab{Bi— B.) —c{aB\ + bB\) — a{cf.— y.') + 6(^ — (3'),

ou, à cause de l'identité (5),

ab{Bj—B2) —c{aB\ + ^/^j) = — 0(7 — 7').

En faisant passer tous les termes dans le premier membre et en divisant par le produit ôiôj des plus grands communs diviseurs des coefficients b el c, a et c, on a finalement

(9) -^{B,-B^)--^{aB\-\-bB\-^y'-y) = o.

:=^-^- est un nombre entier, premier a la lois avec — et ^•

O1Ô2 Ol 02

Diaprés l'équation (9), ce nombre entier doit donc diviser

exaclemeni 61 — 9^ et, en représentatnt ie qttotient entier correspond'ant par l, on a

L'équation (8) devient ainsi