IJ?'+9J'+4C
Les coefficients c^e j' étant premiers entre eux, c'est cette inconnue que nous éliminerons de préférence (198). Nous trouverons ainsi l'équation
dont on obtient une solution entière immédiate, en faisant
x'= G et z=L — 5.
Les solutions entières de l'équation (5) sont donc renfermées dans les formules
En substituant ces valeurs dans l'équation (3), il vient
ou
dont on obtient encore une solution entière immédiate en
faisant
/=z8 et Q — o.
Les solutions entières de ré(|ualion (G) sont donc à leur tour renfermées dans les formules
On a donc enfin, comme formules générales,
r — 'jx'^'jB', 7-=2/ = i6-i85', 5=— 5 + i56',
où 6' est un entier indéterminé, positif, négatif ou nul.
Si l'on voulait n'admettre pour x, y, z que des valeurs en- Lières et posiih'es, il faudrait (ju'on eût
Dk C. — Cours, m. 12
l'jS ÂLGÈBrit: sri'tniEURE.
On déduirait des deux dernières inég-aiités
9'<- et 5'>^:
ce qui montre, puisque B' doit être d'ailleurs plus grand que o. que les équations proposées ne peuvent admettre aucune solution entière et positive.
260. Cas de m équations à m -\- \ inconnues. — La marclie que nous venons d'indiquer pour deux équalioasà Iroig inconnues (197) est générale.
Soit m équations à m + i inconnues x, y, z, «,(',....
Au système donné désigné par (A), on s-ubstituera, par des éliminations successives, un système équivalent désigné par (B). La dernière équation obtenue, que nous désignerons par (lii), contiendra seulement deux inconnues, x^l y\ J'avant-dernière équation (B,) contiendra ces mêmes inconnues, avec une troisième z; l'équation précédente (B3) contiendra les inconnues ^,j, 2, avec une quatrième u; et ainsi de suite, en remontant jusqu'à la première équation (B„J qui contiendra les m 4- I inconnues x, y, z, a, f, ....
Cela posé, si l'équation (B,) admet des solutions entières, on exprimera x et y en fonction d'une indéterminée 9. En substituant les valeurs trouvées dans l'équation (Bj), on a une équation à deux inconnues^ et 6. Si elle admet à son tour des solutions entières, on exprimera s et 9 en fonction d'une nouvelle indéterminée 5', de sorte que x, y, z pouiront être exprimées en fonctions de 9'. En portant les valeurs trouvées dans l'éq.aation (B3), on a encore une équation à deu\ inconnues u et 9'. Si elle admet, elle aussi, des solutions entières, on exprimera u et 5' en fonction d'une nouvelle indéterminée 9", de sorte que x, y, z, u pourront être exprimées en fonction de 6". On continuera de la même manière, jusqu'à ce qu'on ait pu exprimer les m -+- 1 inconnues en fonction d'une seule et dernière indéterminée^ si cela est possible.
La condition de ne conserver, parmi les solutions entières, que celles qui sont positives, imposera, pour la dernière indéterminée, la recherche de limites plus ou moins faciles à assigner.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Ijg
Résolution en nombres entiers d'une équation contenant plus de deux inconnues.
20J. Nous considérerons d'abord spécialement Je cas d'une équation à trois inconnues.
Soit cette équation
(i) ajs -{- by ~h cz = d.
Les coefficients a, b, c, d sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, qui doivent être rendus préalablement premiers entre eux dans leur ensemble.
Les coefficients a, b, c doivent être alors premiers entre eux dans leur ensemble; car, s'ils admetfaienl un facteur commun autre que l'unité, toute solution entière rendrait le premier membre de l'équation multiple de ce facteur, sans que la même condition fût remplie par le second membre. Il n'y aurait donc pas de solutions entières.
Mais deux quelconques des coefficients a, b, c peuvent être premiers entre eux ou admettre un facteur commun n'appartenant pas au troisième coefficient.
Supposons, en premier lieu, que a et b, par exemple, soient premiers entre eux. En mettant l'équation (i) sous la forme
( 2 ) ax -h by ^= d — c z
et en attribuant à z une valeur entière quelconque, on pourra trouver pour x et r une infinité de solutions entières (181, 18-2).
Si, au contraire, a et 6 ont un plus grand commun diviseur à, on pourra poser a = da', b = $b', et l'équation (2) deviendra
c et 5 étant premiers entre eux, puisque a, b, c ne présentent aucun facteur premier commun {Arit/un., i5o), on pourra poser
d — cz
B étant un entier quelconque. On aura alors (4) c^-+-o9 = rf,
l80 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
et celte équation pourra être vériliée pur une inHuit • de valeurs entières de z et de 9. Pour chaque valeur de 9, l'équation (3) admettra à son tour une infinité de solutions entières pour X et V.
On voit que, dans les conditions indiquées, on peut toujours trouver facilement une solution entière de l'équation (i).
