Résoudre en nombres entiers l'équation

On aperçoit imraédiatetnent la solution entière

st = i , f = 'iG, z — o^

Par suite, toutes les solutions entières de l'équation seront renfermées dans les formules (202)

X = I — 66 H- 20O', j = aO-f- 150 +206", 3= — 150'— 66".

20'+. Passons maintenant au cas d'une étjaalion conlenani un nombre quelconrjue cl' inconnues.

Soit

( I ) a X -{- by -\- c z -\- d u -h . . . =1 k y

celte é(|uation générale, où les coefficients a, b, c, d, . . ., k sont des nombres entiers, positifs ou négatifs. On doit toujours la supposer i-amonée à sa plus simple expression, de sorte (|ue les coefficients a, b, c, d, . . ., k n'aient plus aucun facteur commun.

Tous les coefficients du premier membre doi\'ent être alors

premiers entre eux dans leur ensemble ; car, s'ils admettaient un facteur commun autre que l'unité, toute solution entière rendrait le premier membre divisible par ce facteur sans que le second membre le fût. L'équation ne pourrait donc en comporter aucune.

Les coefficients a, b, c, d, ... du premier membre doivent être premiers entre eux dans leur ensemble; mais a et b, par exemple, peuvent n'être pas premiers entre eux. Désignons par è leur plus grand commun diviseur et, par a' et b' ,

les quotients -^ et - • iSous pourrons mettre 1 équation (i) sous

la forme

, , k — c z — du

et la question sera ramenée à résoudre en nombres entiers

l'équation

/r — cz — du — ...

qui renferme une inconnue de moins, puisqu'aw lieu des deux inconnues x et y, on n'a qu'une nouvelle inconnue t.

En opérant ainsi, de procbe en proche, tout dépendra finalement de la résolution d'une équation à deux inconnues.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. lB5