CHAPITRE XII

QUELQUES CAS PARTICULIERS DE L'ANALYSE LNDÉTERMINÉE DU SiOND DEGRÉ.

•205. C'est Bachet DE Mézikiag quia donné, en 1624, l'analyse indéterminée du premier degré dans ses Récréations mathématiques. Lagka>ge a fait connaître, en 1770, dans un de ses beaux Mémoires, l'analyse indéterminée du second degré. 11 a simplifié et généralisé sa méthode dans ses Additions aux éléments d'Algèbre d'EuLER, 1798. La question est une des plus délicates de l'Algèbre. Lagrange ajoute dans ?,on Avertissement : « A l'égard des équations indéterminées des degrés supérieurs au second, on n'a encore que des méthodes particulières pour les résoudre dans quelques cas, et il est à présumer que, pour ces sortes d'équations, la résolution générale devient impossible passé le second degré, comme elle paraît l'être passé le quatrième pour les équations déterminées (') »

Nous nous proposons seulement dans ce Chapitre d'indiquer comment on peut résoudre en nombres entiers l'équation du second degré à deux variables x et y, lorsque le carré de l'une des variables manque dans l'équation.

PltE>Mi:R CAS (C := O).

206. Prenons l'équation générale du second degré à deux inconnues et à coefficients entiers, positifs ou négatifs,

et supposons qu'on ait C = o.

L'éc|uation deviendra du premier degré en j, et l'on aura,

C) OEuvres de Lagrange, édition J.-A. Serbet, t. VII, p. 7; Gauthier-

Villais, u Dccc Lxxvii.

l86 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

en rendant d'ailleurs les coefficients premiers entre eux dons leur ensemble, s'ils ne le sont déjà,

(i) (Ba;' 4-Ejj + Aa;2-^Da?-l-F=:o.

On en déduit

, , — Aa;'-— Djc — F

et l'on effectue la division indiquée dans le second membre. On trouve pour quotient