Résoudre en nombres entiers re'qualinn
3 a;- — IX — 3)'-i-i = o.
On en déduit
Nous devrons donc (208) essayer de trouver une solution entière, en
l'aisaiit varier x de H — à > c'est-à-dire en lui donnant les valeurs
entières i, o, — 1. Pour x = — i, on trouve r = 2. L'équation proposée
admet donc une inûnité de solutions entières, et les valeurs enlièrey
de X sont renfermées dans la formule (208)
où 6 est un entier quelconque, positif, négatif ou nul.
En substituant cette valeur générale de x dans l'équalion donnée, on trouve facilement la valeur générale de l'autre variable
.Si l'on ne veut admettre que des solutions entières positives, il l'a ni satisfaire aux deux inégalités
— 1 — j 0 > o et gO^-i- 80 -t- 2 > o.
La première exige qu'on ait
et la seconde est satisfaite, quelle que soit la valeur entière donnée à 0,
igO ALGEBRE SUPERIEURE.
parce que les racines du trinôme 96^+ 88+2 égalé à zéro sont imaginaires {Alg. ëlém., 252). On obtiendra donc une infinité de solutions entières positives, en donnant à 0 toutes les valeurs entières négatives à partir de — i .
212. 4° Déterminer un triangle rectangle tel, que ses côtes soient exprimés par des nombres entiers et que son aire soit exprimée par le même nombre que son périmètre.
Les côtés de l'angle droit étant x et /, et z l'hypoténuse, on doit avoir
En éliminant z entre les équations (i) et (2), il vient évidemment
ou, en élevant les deux membres au carré,
^^-Hj2= -^ xf{x-^y)-\-{x-^jY,
c'esL-à-dire, en simplifiant,
0 = —^ xj{x-\-j)-\-ixf.
x et j étant supposés différents de zéro, on peut diviser par ^/, et l'on trouve ainsi
ou
xj — /\x — 4/ -H 8 = o.
On en tire
/ON 4j^-8 , 8
Nous devons donc égaler à .r — 4 (206) les diviseurs de 8, qui sont: ±1, ±2, ±4, ±8.
On trouve alors les solutions entières suivantes :
Comnie on doit rejeter les solutions nulles et les solutions négatives, on
n'a à tenir compte c ue des quatre solutions
Mais, X étant un côté quelconque de l'angle droit, il n'y a en réalité que deiix solution.'! d.\i\.\viClGS :
X = 5 avec jr = 12, X = 6 avec >' = 8.
L'équation (i) donne, dans la première hypuliiese, z = i3, et, dans la seconde, - = 10.
