A AE - BD BDE — (AE^+R-C

(^) ^^'--jî.^^ W~^ B^(B^ + E) '

ou, en multipliant les deux membres par B^ et en posant pour abréger N = BDE — ( AE- + B^ F),

(4) B^v=— ABx-i-AE-BD^- g-^^-g.

Comme x et / doivent être des nombres entieFS,, positifs o» négatifs, il faut do:ic que le quotient

soit lui-même un nombre entier, positif oa négatif, c'est-à-dire que B^ -h E soit un diviseur de N.

On chercbera, par conséquent, tous les diviseurs du nombre entier N et, en désignant l'un quelconque d'entre eux par A,

on posera

d'où

(5) -=— if^-

Lorsque les valeurs de x fournies par la formule (5) seront entières, il faudra les substituer dans l'équation (4) pour voir si elles con'espondent à des valeurs entières de j.

L'analyse précédente montre que le nombre des solutions entières est toujours limité et qu'il peut n'en exister aucune.

207. Remarque. — Le reste de la division effectuée peut être nul.

On a, dans cette hypothèse et d'après les équations (2)

et (3),

7(Bjc + E) — -- A.r^— Da^ — F

/n p-^/ A AE-BI)

ou

(Bx-f-E)(B-j+AB.2; + BD— AE) = o.

Il faudra alors poser séparément

B.2; + E=:o, BV+ABx4-BD— AE = o;

et il est évident que, si ces équations admettent une solution entière, il n'y en aura qu' une seule.

Deuxième cas (0 = 0 et B = g).

208. Lorsqu'on a, à la fois, C = o et B 1= o, la marche (|u'on vient d'indiquer doit être modifiée. On a alors simplement

Admettons qu'il existe une solution entière correspondant à x=. (X qV posons

en désignant par B un entier indéterminé. Si nous substituons celte valeur de x dans l'équation (i), il vient, en simplifiant,

(2) y= -A«^-na-F ^^f^^^^^f^f^^Q^^

Par hypothèse, la quantité

— A rj:"- 1) g - F E

est un entier. Il en résulte que, si a? = « donne une valeur

entière de /, o^ = a-i-E9 en donne nécessairement une nou-

velle, de sorte que l'équation proposée admet alois une infinité de solutions entières.

La question est donc ramenée à trouver, s'il est possible, une solution entière.

Or, si a était connue, comme B peut être positif ou négatif,

on pourrait déterminer B de manière que ir = a-t-E0 fût

compris entre et — • En d autres termes, si les solutions

entières existent, il y aura une valeur entière de x, comprise

entre et — > qui donnera une valeur entière de )•.

On substituera donc dans l'équation (i) toutes 1 s valeurs entières de x comprises entre les deux limte^ ei —•.

le nombre des essais ne dépassera pas E; eî, s livan' que ces essais réussiront ou non, léqiiation p.oposée admettra une infinité de solutions entières ou n'ea admettra aucune.

Applications.