ni — 2 ) ( /?i — i)m
Le numérateur contient, dans ce cas, m facteurs qui sont les nombres entiers de i h m; \e dénominateur en contient aussi m, qui sont les nombres entiers de i à « et de i à m — n. On peut donc écrire, symboliquement (217),
/il {m — rt ) !
Sâi. La nouvelle forme obtenue démontre immédiatement ce théorème :
Le produit des ni premiers nombres eiiLiers est toujours divisible par le produit des n premiers nombres entiers multiplié par celui des m — n premiers nombres entiers, quel que soit n, pourvu qu'il soit moindre que m.
225. On peut présenter, comme il suit, une démonstration directe tle la formule des combinaisons.
Supposons que l'on connaisse les combinaisons de m objets pris/? à p. En associant successivement à chacune d'elles les m — p objets (|ui n'y entrent pas, on formera des combinaisons de m objets pris/? + i à /:> 4- i, en nombre égal à
Aucune combinaison/? + i à/j-f-i ne peut ainsi cchap|)er, puisqu'on emploie toutes les combinaisons p à />; mais les combinaisons obtenues ne sont pas toutes dislinctes. En eflet, prenons l'une de ces combinaisons : (|uel (jue soit l'objet qu'on y supprime, parmi les /> -+- 1 (|ri'elle renferme, on retrouvera une combinaison p à p dilférenle. Il en résulte évidemment que la même combinaison p-\-i à />» + 1 rc|)araîir-a, dans ro|)ération etîectuée, de p + i manières différentes.
Le nomijre exact des combinaisons de m objets pris/>4-i à/? + I est donc
200 ALGÈBRE SUPÉniFURE.
Eu faisant successivement, dans cetle relation,
^ =1: I , 2, 3, . . . , Il — I,
on a
fi f 3
En multipliant ces égalités membre à membre, en supprimant les facteurs communs et en rcmarquaut que C,'„=/", on a, comme précédemment ('221),
Nous allons maintenant démontrer, sur les combinaisons, quelques théorèmes utiles.
22G. I. Les nombres de combinaisons dont les exposants sont complémentaires par rapport à l'indice commun sont égaux entre eux.
On dit que deux exposants sont complémentaires quand leur somme reproduit l'indice commun. Il faut, par conséquent, établir la foimule
Cil r^in- Il m — ^iii
Ce théorème est, pour ainsi dire, évident; car, si l'on choisit, parmi les m objets considérés, une combinaison n à n, les m — n objets qui restent forment, à leur tour, une combinaison m — « à m — n. Les deux nombres de combinaisons sont donc nécessairement identiques.
La formule générale, sous la seconde forme indiquée (223), le prouve aussi immédiatement; car, si Ton y change n en m — n, on a
Et, en comparant l'expression de C'""'^ à celle de C",, on voit qu'elle ne présente pas d'autre changement que celui de l'ordre des deux produits 1.2.3.4. .n ei i .2.3.4. • • ("* — f^) au dénominateur.
227. II. Si l'on considère les combinaisons n à n de m objets, le nombre de celles qui renferment p objets déterminés s'obtient en retranchant p de l'indice m et de l'exposant n.
En effet, mettons à part ces p objets, il en restera m — p. Si l'on forme alors les combinaisons n — p à n — p de ces m — p objets, et si l'on range à la droite de chacune d'elles les p objets laissés de côté, on a évidemment toutes les combinaisons n h n qui renferment ces p objets. Leur nombre est donc bien égal à
pn-p
228. II [. St l'on considère les combinaisons n à n de m objets, le nombre de celles rjai ne renferment aucun objet choisi parmi p objets déterminés s'obtient en retranchant p de l'indice m.
En effet, si l'on met à part les/? objets désignés, il n'en restera plus que m~ p, qui entreront seuls dans les combinaisons n à n dont on cherche le nombre. Ce nombre est donc bien égal à
229. Il en résulte que, si l'on considère les combinaisons n à n de m objets, le nombre de celles qui renferment au moins un objet choisi parmi p objets déterminés est égal à
^m ^~^in-p'
230. IV. Le nombre des combinaisons de m objets pris n à n est égal à la som,me des nombres de combinaisons de m — I objets pris n — i an — i et n à n.
Cette proposition découle inunédialenîcnt des propyosiliuns établies aux n°* 227 et 228, lorsqu'on suppose/? — i.
On peut toujours, en effet, partager les combinaisons de m objets pris /* à n en deux groupes : l'un composé des combinaisons qui renferment toutes un certain objet déterminé, l'autre composé de celles fiui ne renferment pas cet objet.
On a ainsi la formule remarquable
rn — rn-l , p.7
231. V. Le nombre des combinaisons de m objets pris n à n est égal à la somme des nombres de combi/iaisons n — i à n — I , de m — i , m — 2, m — 3, . . . , n — i objets.
On peut, en effet, appliquer de proche en proche la formule précédente, en décomposant, toujours suivant ia même règle, le dernier terme du second membre. On s'arrêtera nécessairement à l'égalité où, dans le premier membre, l'indice toujours décroissant sera devenu égal à l'exposant constant (cette dernière égalité se réduit évidemment à l'identité i = i). On aura donc successivement
nn
— ^m -1^ -'iii-i >
— rii-i
En ajoutant toutes ces relations membre à membre, et en remarquant que le dernier terme du second membre de chaque égalité n'est autre chose que le premier membre de l'égalité suivante, il vient, après simplification,
rn rn-\ , P/î-1 v C"-''^ -1- I rn-l
Arrangements et permutations, avec répétition des objets considérés, supposés toujours distincts.
232. Nous avons sup[)0sé jusqu'à présent que les objets ou les lettres considérées ne pouvaient pas être répétées dans les arrangements formés.
En admettant cette répétition, on peut demander quel sera le nombre total des arrangements obtenus.
Ce nombre sera évidemment plus grand que lorsqu'il n'y a pas répétition. Si l'on veut, par exemple, obtenir les ai'rangenients deux à deux des trois lettres a, b, c, il faudra joindre aux arrangements ordinaires
ab, ac, ba, bc, ca, cb,
ALCÈBRE SUPÉRIEURE. yo3
les nouveaux arrangements
aa, bb, ce.
Nous trouverons le résultat cherché en appliquant le même procédé qu'au n" 215.
Désignons par (AR)"; le nombre des arrangements a^ec répétition de m objets pris n à n.
Supposons qu'on connaisse les arrangements avec répétition de m objets pris n — i à n — i. Pour passer aux arrangements n à n, il est évident qu'il suffit d'écrire successivement, après chaque arrangement n — i à n — i, les m lettres données, piiis<|ue leur répétition est acceptée.
Tous les arrangements n h n seront obtenus, car ils commencent tous par un certain arrangement « — i à n — i. Ils seront tous distincts, car ils diiïèrent tous par l'arrangement n — I à n — I qui leur a donné naissance ou par leur dernière lettre. On peut donc écrire
(Ali);:, = (AR);;r'x «*•
En faisant dans cette relation /i =1 2, 3, 4, • • • , «, en multipliant les égalités correspondantes membre à membre, en simplifiant et en remarquant que (AR))„ ^m, on a
(AR)«=m«.
233. Il en résulte immédiatement que le nombre (PR)„j des permutations avec répétition est également
(PR)„. = m'«.
Combinaisons, avec répétition des objets cpnsidérés, supposés toujours distincts.
23i. Nous avons supposé jus(|u'à présent f|ue les objets ou les lettres considérées ne i)ouvaient pas être répétées dans les combinaisons formées.
En aflmettant cette répétition, on peut demander quel sera le nombre total des conibinaisons obtenues.
Ce nombre sera évidemment plus grand que lorsrju'il n'y a pas répétition. Prenons, par exemple, les quatre objets ou les (piatre lettres a, b, c, cl, et formons leurs combinaisons trois à ti'ois avec répétition. Nous obtiendrons les combinaisons
204 ALGÈBEE SUPÉRIEURE.
ordinaires, plus celles où la même letlre peut entrer deux ou
trois fois. Nous aurons ainsi les quatre combinaisons connues (220)
abc, ahd, acd, bcd,
plus seize nouvelles combinaisons
aab, aac, aad, bba, bbc, bbd, cca, ccb, ccd, dda, ddb, ddc, aaa, bbb, ccc, ddd;
en tout, vingt au lieu de quatre.
235. Pour obtenir la formule générale des combinaisons avec répétition, nous ferons usage du principe suivant.
Désignons par (CR)^ le nombre des combinaisons avec répétition de m objets pris /^ à n, et supposons formé le Tableau de toutes ces combinaisons.
Nous allons chercber, de deux manières différentes, combien de fois une certaine lettre désignée entre dans ce Tableau, et, en égalant les deux expressions correspondantes, nous aurons la formule cherchée.
Soit a la lettre désignée.
Dans chaque combinaison, il y a n lettres. Le nombre total des lettres du Tableau est donc
