FORMULE DU BINOME. — TRIANGLE ARITH.MÉTIQUE DE PASCAL
Formule du binôme.
254. Nous nous proposons de trouver le développement de {a; + a)'"- ordonné suivant les puissances décroissantes de jc, m étant un exposant entier et positif. Ce développement si important porte le nom ûe formule du binôme. Nous l'établirons à l'aide de la théorie des combinaisons.
Nous avons vu {Alg. élém., 29) que le produit de n polynômes s'obtient en formant tous les produits n à n (213) des termes des polynômes proposés, c'est-à-dire que, danscliaqne terme d'un de ces produits, il doit entrer comme facteurs un terme du premier polynôme, un terme du deuxième, un terme du troisième, . . ., un terme du n'"'"".
Appliquons cette règle à la formation du produit des m binômes
où tous les premiers termes sont égaux à a: et oii tous les seconds termes sont différents, et supposons fiu'on ordoime le produit par rapport aux puissances décroissantes de .r.
En prenant les /« premiers termes des m binômes, on a évidemment x"^.
En prenant le premier terme x dans m^i binômes et le second terme a, b, c, . . ., ou /, dans le //i''""* binôme, on obtient des termes de la forme aa?'""'; et la somme de tous ces
termes est
(a -h è-hCH-. . .-f- l)x"'-K
Si l'on représente par Sj la somme de tous les seconds termes des binômes, le terme en x'^~'^ du développement prend la forme Si .a;'""*.
ALGEBRE SUPEKIELRE. 219
En prenant le premier terme x dans ni — i binômes et les seconds termes a e\, b, a et c, a ei cl, . . ., ou k et /, dans les deux binômes restants, on obtient des termes de la forme abx'"--; et la somme de tous ces termes est
{ab + ac + ad + . . .^ /{l)x'"--.
Si l'on représente par S2 la somme des produits 2 à 2 des seconds termes des binômes, le terme en ^'"-^ du développement prend la forme Sj^"' -.
Si l'on représente par S3 la somme des produits 3 à 3 des seconds termes des binômes, on voit de même que le terme en .r'"-3 du développement est de la forme S3 r'"~^
D'une manière générale, si l'on prend dans m — n binômes leur premier terme x et, dans les n binômes restants, leur second terme, on obtient des termes en x'"-" ; et la somme de tous ces termes ou le terme en x'"-"- du développement a pour expression Sn^'"~'^, en représentant par S„ la somme des produits n h n des seconds termes des binômes.
On obtient enfin le terme de degré o par rapport à x en prenant les m seconds termes des m binômes. Ce terme, produit des m seconds termes, est abcd . . .kl, et on le représentera par S,„.
Nous aurons donc finalement l'égalité
2oo. Supposons maintenant, dans l'égalité précédente, toim les seco/ids Ce/ mes des binômes égaux à a.
Le premier membre devient évidemment (x -^ a)'". Il faut chercher ce que deviennent dans le second membre les quantités S>I, ^2> • • • > 3«» ■ • • > S;„.
S, est la somme des seconds termes des binômes: ces seconds termes devenant tous égaux à a et leur nombre étant m, on a
Si = ma.
S2 est la somme des produits 2 à 2 des seconds termes des m binômes ou la somme des combinaisons 2 à 2 formées avec ces seconds termes. Ces seconds termes devenant tous égaux à a, toutes les combinaisons deviennent égales à a-. S, repré-
sente donc le produit de a^ par le nombre des combinaisons de m objets pris 2 à 2, et l'on a (221)
On trouve de même
D'une manière générale, S„ est la somme des produits n à /i des seconds termes des m binômes ou la somme des combinaisons /i à « de ces seconds termes. Ces seconds termes devenant tous égaux à a, toutes les combinaisons deviennent égales à «"; S„ représente donc le produit de a"^ par le nombre des combinaisons de-m objets pris /i à n, et l'on a (221)
Enfin, S„,, représentant le produit des m seconds termes des binômes, devient égal à a"\ et l'on peut écrire
mini — I ) ( /« — 2 ) . . , ( m — n + 0
C'est la formule du binôme, d;uis le cas d'un exposant entier et positif.
236. Celte formule contient m + i termes. . Les termes extrêmes sont x'"- et a'". Dans les termes intermédiaires, l'exposant de oc va en diminuant et l'exposant de a va en croissant d'une unité, lorsqu'on passe d'un ternie au suivant. Il en résulte que, dans cliaque terme, la somme des exposants des deux lellies est toujours égale à m.
Quant aux coerilcients, les termes extrêmes ont pour coefficients l'unité et, les termes intermédiaires, les difréronls nombres de combinaisons qu'on peut former en prenant ni objet.s i à i , 2 à 2, 3 à 3, « à n, . . ., m — i a. m — i .
On peut dire aussi que le coefficient du dernier terme est
ALGEBRE SUPERIEURE, 221
le nombre des combinaisons de m objets pris m à /??, puisque ce nombre est égal à l'unité.
La formule du binôme s'écrit donc encore commodément comme il suit, en employant la notation habituelle des nombres de combinaisons :
( JT -+- «7 )"' = ^'" -h C.]„ a x'"-^ -+- Cl a- r'"-^- -+- C?„ rt' JC'"-^ -h . . . -+- C'„ a" X'"'"- + . . . ^ C^"' a'"-* X -+- C;;; a">.
257. Dans la formule du binôme, les coefficients des termes situés à égale distance des extrêmes sont égaux.
En effet, le coefficient du terme qui en a n a<,'ant lui est
rn
Le terme qui en a n après lui en a «i — n avant lui, puisque le développement comprend m + i termes; son coefficient est donc Cj"!'", et l'on a démontré (226) l'identité
fn . i^iit-n
258. Si l'exposant m est impair, le nombre m -h i des termes du développement est pair; les coefficients des termes intermédiaires se reproduisent alors deux à deux, à égale distance des extrêmes, et il suffit de calculer la moitié de ces coefficients.
Si l'exposant m est pair, le nombre m -\- i des termes du développement est impair; les coefficients des termes intermédiaires se reproduisent alors deux à deux, à égale distance des extrêmes, à l'exception du coefficient du terme du milieu fpii n'a pas de correspondant; il faut alors calculer la moitié plus un de ces coefficients.
259. Les termes du développement se déduisent successivement les uns des autres, d'après une loi très simple.
Le terme général étant celui qui en a n avant lui, écrivons ce terme et celui qui le précède immédiatement, en les désignant par T„ et T„,. Nous aurons
jyi( m — \){ni — i). . .{m — n -\- \) „ „, „ \ .l.ô . . .n
m im-i){m-:i)...{m-n-^2) ,,„„+,
l .-Lô. . .( n — I )
222 ALCrcBUf: SUPÉRLEURE.
Et l'on peut remarquer que l'exposant de a indique combien le terme considéré a de termes avant lai, tandis que l'exposant de X indique combien ce terme en a après lai.
En divisant membre à membre les deux égalités posées, il vient évidemment
ce qui démontre que, pour passer d'un terme quelconque du développement au suivant, il faut multiplier le coefficient du terme donné par l'exposant de x dans ce terme et le diviser par l'exposant de a dans le terme quon veut former ; puis augmenter l'exposant de a et diminuer celui de x d'une unité.
2G0. Si l'on a à effectuer le développement d'une puissance entière el positive d'un binôme de forme quelconque, tel que 8a^+ 5 a- 6, on pose
et l'on détermine, d'après la règle précédente, la puissance correspondante du binôme A -i-B. On exprime ensuite les différentes puissances de A et de B, en fonction de a et de b.
261. La formule ti'ouvée (256) ne dépend pas du signe de a. Si le second terme du binôme donné change de signe, cette formule subsiste donc. Seulement, dans le développement, les termes qui contiennent a à une puissance impaire cliangent de signe, de sorte que les termes sont alternativemenl positifs et négatifs. On a ainsi
{x — a)'" = X"' — C]„ ax'"-^ + Cf„ a-x'"-- — Cj,, a'
Remarques et conséquences relatives à la formule du binôme
262. Nous croyons utile de préciser les remarques faites au n" 258.
I)'ai)rôs la règle établie au n° 259, en multipliant le coefficient du terme général T,, par la fraction
nous formerons le coefficient du terme suivant. Les coefficients du développement vont donc en augmentant tant que cette expression est supérieure à l'unité ou que la condition
est satisfaite. De cette inégalité, on déduit
et l'on doit distinguer deux cas :
1° m est impair. — Si m est impair, m — i est pair, et n
peut recevoir la valeur L inégalité (2) se changeant
alors en égalité, il en est de même de l'inégalité (i). L'cxpres-
sioii devient donc égale a 1 unité, et le terme 1„+, a le
même coefficient que le terme T„.
Dans cette hypothèse, le rang n + 1 du terme T„ est égal à
On est donc, à cet instant, parvenu au milieu du dévelop-
[jciiii'ni : le terme T„ en termine la première moitié, le
terme T^h-, en commence la seconde.
111 'I- f^ — " ., L exposant de rt dans le terme J„ est n = ; I exposant
de X dans le même terme est (256) m — n =
iJans le cas où m. est impair, on reconnaît donc quon est arri\(' au milieu du développement, à ce fait que, dans le dernier terme forme, l'exposant de x est supérieur d'une unité à l'exposant de a.
2" m asi pair. — Si m est pair, m — i est impair, et n ne m — 1
|)eiil recevoir la valeur
Dour 't ^=^ •» l'inégalité (2) est toujours satisfaite, et
le coefficient du terme T„-,-i augmente encore. Mais, pour
ALGEBRE SUPERIEURE.
«= —5 l'inégalité (2) change de sens, et il en est de même
de l'inégalité (i). L'expression ^ devient donc moindre
n -hi
que l'unité, et les coefticientsdu développement commencent
à diminuer.
Le coefficient maximum répond, par suite, h n= —• Dans
celte hypothèse, le rang /z + i du terme T„ est égal à
hi.
On est donc, à cet instant, parvenu au milieu du développement, et le coefficient du terme T„ ne se répète pas.
L'exposant de a dans le terme du milieu étant « rr: — ,
1 exposant de jc dans le même terme est m — n^ —
Dans le cas où m est pair, on reconnaît donc qu'on est arrivé au milieu du développement, à ce fait que, dans le dernier terme formé, les exposants de x et de a sont égaux.
263. Ce qui précède conduit immédiatement à la solution de la question suivante :
Par/ni les nombres de combinaisons qu'on peut obtenir avec m objets, en les prenant i « i, 2 à 2, 3 à 3, . . ., m à m, quel est le nombre maximum?
On n'a évidemment (2oG) qu'à chercher quel est le plus grand coefficient du développement de la /n'«'"«^ puissance d'un binôme quelconque.
Si m est impair, il y a au milieu du développement deux coefficients égaux plus grands que tous les autres, et qui ont pour expressions (202)
^r.i' Gt C„/ .
Si m est pair, le coefficient maximum du développement est celui du terme du milieu et a pour expression (202)
tn
La question posée est ainsi résolue.
Par exemple, on obtient le plus grand nombre de combinaisons qu'on puisse former avec 7 objets, en les prenant 3 à 3 oLi 4 à 4- On obtient le plus grand nombre de combinaisons qu'on puisse former avec 10 objets, en les prenant 5 à 5.
264. Si l'on suppose, dans la seconde expression du développement de {a; 4- a)'" (256), jc =za=zi, on trouve
